Cтраница 4
Греки считали геометрию дедуктивной наукой, которая имеет дело с чисто логическими выводами из небольшого числа однажды установленных аксиом. Правда, список Евклида был далеко не полным, у Гильберта же он полон, и в его рассуждениях нет логических пробелов. Все, что нам нужно знать об этих основных понятиях, содержится в аксиомах. Эти аксиомы служат, так сказать, неявными ( и, разумеется, неполными) их определениями. Евклид считал, что аксиомы должны быть очивидными; предметом его рассмотрения было реальное пространство физического мира. Но в дедуктивной системе геометрии очевидность и даже истинность аксиом несущественны: последние выступают скорее в качестве предположений, из которых извлекаются логические следствия. В самом деле, существует много различных материальных интерпретаций основных понятий, для которых эти аксиомы становятся истинными. Например, аксиомы - мерной евклидовой векторной геометрии выполняются, если считать вектором распределение постоянных токов в данной электрической цепи, которая состоит из п проводников, соединенных в некоторых точках разветвления, а в качестве квадрата длины вектора принять джоулево тепло, выделяемое током за единицу времени. При построении геометрии на аксиоматической основе стремятся к возможно большей экономики и тем самым проясняют роль отдельных групп аксиом. Расположенные в их естественной иерархии, это будут аксиомы инцидентности, порядка, конгруэнтности, параллельности и непрерывности. Например, если окажется, что учение о геометрических пропорциях или теорию площадей многоугольников можно построить, не обращаясь к аксиомам непрерывности, го так и следует поступить. [46]