Cтраница 2
Приняв точку зрения теории банаховых алгебр, в этом параграфе ш даем описание боровской колшактяфикация Я - ( R) A как пространства максимальных идеалов алгебры APSAPF) всех почти периодических функций на прямой. [16]
Пусть Л - любая замкнутая нормальная подалгебра в 33 ( Н), содержащая операторы / и Т, и пусть А - пространство максимальных идеалов алгебры А. Так как оператор Т удовлетворяет условию ( Ь) теоремы 12.32 и так как от ( Г) Т ( А), то мы видим, что 7 ( Х Каждая неотрицательная непрерывная функция обладает однозначно определенным непрерывном квадратным корнем. [17]
Напомним, что банахова алгебра А называется равномерной, если она коммутативна и а тах й, где а - преобразование Гельфанда элемента а, то есть функция на пространстве МА максимальных идеалов алгебры А. Например, алгебра С1 [0; 1] непрерывно дифференцируемых функций коммутативна, но не является равномерной. Равномерной алгеброй является каждая алгебра С ( Х) непрерывных ограниченных функций на топологическом пространстве X с sup - нормой. [18]
Я ( Р) алгебры всех почти периодических функций Бора - Френеля на прямой К. Однако это наблюдение не репшет вопроса об описании пространства максимальных идеалов алгебры АР2Я), так как выбор направления л-и координатной оси в евклидовом пространстве Вл может быть совершенно произвольным, поэтому остается неяснш, как построить ЛРЯ) из таких пространств максимальных идеалов подалгебр вырожденного тапа. [19]
Очевидно, что этой точке я при нашем отобраке-нии соответствует максимальный идеал I. Наконец, так как построенное отображение проективного предела Хш на пространство максимальных идеалов алгебры В ( со) есть непрерывная биекция двух компактных хаусдорфовых пространств, то это отображение есть гомеоморфизм, что позволяет нам пространство максимальных идеалов алгебрн В ( ш) отождествить с Xw, Таким образом, доказана следующая теорема. [20]
Множество ехр St логарифмируемых элементов любой алгебры 9 ( является подгруппой группы inv 9 ( обратимых элементов. Оказывается, что соответствующая факторгруппа зависит только от гомотопического класса пространства максимальных идеалов алгебры. [21]
Этот результат представляет собой простейший случай теоремы Аренса - Ройдена для коммутативных банаховых алгебр. Теорема Аренса - Ройдена непосредственно связывает группу С / С / х с топологической структурой пространства максимальных идеалов алгебры А. [22]
А отвечает гомоморфизм срд. А - - С, действующий по правилу срл. Поэтому А естественно топологически вкладывается в пространство максимальных идеалов алгебры А и при соответствующем отождествлении поглощает границу Шилова. [23]
Другой метод состоит в рассмотрении различных алгебраич. Так, бикомпактное пространство совпадает с пространством максимальных идеалов алгебры действительных функций, заданных на нем. [24]
Пространство X можно рассматривать как часть пространства максимальных идеалов алгебры А; поэтому на X можно рассматривать не только обычную топологию пространства максимальных идеалов, но и метрику, индуцированную вложением X в пространство, сопряженное А. Рл ( хг, я2) 2; отношение р ( х1, ж2) 2 является отношением эквивалентности, и классы эквивалентности наз. Если X - круг г: 1 иЛ - замкнутая подалгебра в С ( X), состоящая из аналитических при z [ 1 функций, то метрика р неевклидова, а долями Глисона служат одноточечные множества на границе и внутренность круга. Доли Глисона не всегда обладают аналитич. Глисона пространства максимальных идеалов нек-рой алгебры, такой, что сужение алгебры на эту долю содержит всякую ограниченную непрерывную функцию. Принадлежность двух точек к одной и той же доле Глисона может быть охарактеризована в терминах представляющих мер на границе Шилова: такие две точки обладают взаимно абсолютно непрерывными представляющими мерами с ограниченными производными. Алгебра, для к-рой НеЛ гплотно в С ( Г), наз. [25]
Не следует, однако, ожидать, что в учебнике по общей топологии сколько-нибудь полно могут быть рассмотрены все ее вопросы, включая применения. Например, в книге не нашло отражения современное состояние дескриптивной теории множеств в общих пространствах, ибо этот материал требует отдельной книги. Не рассматривается метод обобщенных метрик, развитый в конце 50 - х и начале 60 - х гг. М. Я. Антоновским, В. Однако книга Энгелькинга обеспечивает очень хорошую основу для приложений современной общей топологии в различных частях математики. Она подходит вплотную к таким приложениям в разделах, посвященных пространствам отображений с различными топологиями, пространствам максимальных идеалов функциональных алгебр, топологическим группам и группам гомеоморфизмов, многозначным отображениям, равномерным пространствам. [26]
А, для к-рой Алгебра наз. Антисимметричными являются, в частности, алгебры аналитич. A, вещественная на S, постоянна на этом множестве. Согласно этому определению алгебра А антисимметрична, если все X являются множеством антисимметрии. Каждое максимальное множество антисимметрии является пересечением множеств пика ( множество Р наз. Если X есть пространство максимальных идеалов алгебры А, то максимальные множества антисимметрии связны. Вместе с тем изучение произвольных алгебр А не может быть сведено к аналитическим алгебрам: существует пример алгебры типа R ( X) ( замкнутой подалгебры алгебры С ( Х)), не совпадающей с С ( Х), антисимметричной и регулярной. [27]