Cтраница 2
Замечательное свойство пространств когомологий Ht состоит в том, что они конечномерные. Эти пространства называют пространствами когомологий области G, а их размерности - - числами Бетти этой области. [16]
Фундаментальная группа 7Ti ( M) изоморфна G %, а группа Я ] ( М, Z) Gz / [ Gz, GZ ] - коммутант [ Gz, GZ ] порождается элементом bdb-ld - l а, поэтому dimcHl ( M, С) 3 - размерность пространства одномерных когомологий М нечетна. Но из разложения Ходжа следует, что у кэлерова многообразия пространства нечетномерных когомологий четномерны. [17]
Факторпространство ( / () Ker dj / Imrfi-i называется - м пространством когомологии этого комплекса. [18]
Александрова - Чеха можно определить с помощью коцепей, получающихся из коцепей специально подобранной системы открытых покрытий переходом к прямому пределу. Эти коцепи оказываются сечениями пучков ростков коцепей ( определяемых аналогично пучкам ростков функций), составляющих резольвенту группы ( или даже пучка) коэффициентов, к-рая оказывается мягкой, если пространство паракомпактно. Таким образом, для паракомпактных пространств когомологии Александрова - Чеха совпадают с пучковыми. Аналогичный вывод имеет место для пространств Зариского ( в частности, для алгебраич. Сечениями пучков резольвенты оказываются и коцепи Алек-сандера - Спеньера, причем резольвента состоит из мягких пучков, если А паракомпактно, в частности, в этом случае когомологии Александера - Спеньера и Александрова - Чеха естественно изоморфны. [19]
Если морфизм /: X - - Y собственный и F - когерентный пучок О у. Аналогичный факт имеет место и для этальных когомологий. В частности, если X - полная схема над нолем k, то пространства когомологий / / ( А, У1) конечномерны. [20]
Например, элементами пространства Н являются классы эквивалентности дифференциальных форм. Каждый класс состоит из форм, разность которых есть полный дифференциал некоторой функции. Ясно, что значение интеграла по замкнутому контуру зависит только от когомологического класса формы. Замечательная теорема де Рама утверждает, что пространства когомологий и числа Бетти могут быть найдены вообще без помощи интегрирования, а только посредством стандартной топологической - процедуры разбиения области на симплексы. [21]