Cтраница 2
Оператор А является многомерным оператором, поскольку и пространство U, на котором он задан, и пространство V, в которое он переводит функции из U, являются пространствами вектор-функций. [16]
Теорема допускает ряд усилений: коэффициенты дифференциального оператора и нелинейность не обязательно непрерывны, может быть рассмотрена оценка (29.4) с зависящей от t функцией Ф, задача (29.1) может быть рассмотрена в пространстве вектор-функций. [17]
Как и в конечном случае, возможны две реализации индуцированного представления: 1) в пространстве вектор-функций на всей группе G, преобразующихся по заданному представлению при левых сдвигах на элементы подгруппы Я; 2) в пространстве вектор-функций на правом однородном пространстве X H G. Переход от одной реализации к другой для бесконечномерных представлений далеко не так очевиден, как в конечном случае. Тем не менее, из критерия индуцированности, который мы приведем в конце этого пункта, вытекает эквивалентность обоих подходов. [18]
Нам понадобятся теперь соболевские пространства вектор-функций на S и псевдодифференциальные операторы, действующие в этих пространствах. [19]
Группа Пуанкаре, как и все некомпактные группы1), не имеет конечномерных унитарных представлений. Представления в пространстве вектор-функций, рассмотренные в § 2, бесконечномерны, по не унитарны. Напротив, правило (14.10), как мы сейчас убедимся, задает унитарное представление. [20]
Отметим, что данная теорема представляет собой распространение теоремы 24.1 на пространства вектор-функций. Аналогично распространяются на пространства вектор-функций другие теоремы, установленные в пп. [21]
Доказательство этой теоремы повторяет в основном доказательство теоремы 1.1. Мы его не приводим, так как в дальнейшем эта теорема не используется. Заметим, что теорема 1.2 верна также в случае операторов взвешенного сдвига, действующих в пространствах Lp вектор-функций со значениями в бесконечномерных пространствах. [22]
Отметим, что многие из полученных ниже результатов переносятся на более общие классы алгебр, но мы не будем стремиться к наибольшей общности. Выбор описанного выше класса алгебр, связанного с рассмотрением операторов в сечениях векторных расслоений, а не в пространствах вектор-функций, диктуется не стремлением к обобщениям, а приложениями, на которые ориентирована теория, и логикой развития самой теории. [23]
Наконец, в § 6 результаты § 3 демонстрируются на примере га-мильтоновой системы, модифицированной добавлением лагранжевых сил, удовлетворяющих условию полной диссипации. Асимптотические представления для решений линеаризованной системы затем распространяются и на решения исходной нелинейной системы с помощью применения принципа Шаудера в банаховом пространстве вектор-функций с нормой, определяемой асимптотикой реше - НЕЙ линеаризованной системы. [24]
В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с множествами объектов, которые не обладают свойством упорядоченности, аналогичным, например, свойству упорядоченности вещественных чисел. Если рассматривать множество всех вещественных функций с общей областью определения и понятия меньше и больше определить обычным образом, то не всякие две функции будут сравнимы между собой. Так, в одних точках могут быть большими значения первой функции, а в других - второй. Аналогичная ситуация получается и в случае векторного пространства, если понятия порядка определить естественным образом, а также в случае пространства вектор-функций. Поэтому в функциональном анализе и его приложениях весьма содержательной и плодотворной оказалась теория, которая использует понятие частичной упорядоченности множеств - - свойство, присущее многим математическим объектам. Теория линейных частично упорядоченных ( или полуупорядоченных) пространств была построена Л. В. Канторовичем в 1935 - 1937 гг. Эта теория нашла широкое применение в различных областях современной математики и смежных наук. В дальнейшем теория полуупорядоченных пространств интенсивно развивалась в разных направлениях многими советскими и зарубежными математиками. [25]