Cтраница 2
Оба построения, таким образом, при данных начальных условиях приводят к одной и той же конфигурации траекторий. Если система Х ( х) подвергается воздействию малого возмущения, под влиянием которого она переходит в некоторое состояние Х ( х) Р ( х), предположение о наличии структурной устойчивости обеспечивает сохранение общего характера топологии пространства решений уравнения ( 10) в том смысле, что в подпространствах, входящих в фазовый портрет системы, будут наблюдаться траектории тех же типов. Отсюда вытекает непосредственная связь с явлением индивидуальной изменчивости. Концепция индивидуальной изменчивости сводится к тому, что отдельные особи, принадлежащие одному и тому же или родственным видам, обладают одной и той же биологической функцией, несмотря на значительные структурные различия системы органов, обеспечивающих выполнение соответствующей функции. Головной мозг разных людей столь же неодинаков, как и их лица, их желудки, их печени, тем не менее основные механизмы восприятия и познания у всех нас одинаковы, если только они не нарушены каким-либо поражением, приводящим к негомеоморфному изменению структуры. [16]
Задача ( у) по своей постановке близка к краевой задаче, у которой - оо, роо. Поэтому используем метод, изложенный в предыдущем параграфе. Обозначим через Х подпространство пространства решений уравнения (4.8.1), образованное ограниченными при / - - оо решениями, а через Хъ - подпространство, образованное ограниченными при f - v oo решениями. Тогда подпространствам Х и Х2 соответствуют подпространства С, которые будем обозначать по-прежнему через Х и Хг. В этом случае говорят, что Уравнение (4.8.1) обладает свойством дихотомии. [17]
В самом деле, подстановка указанных выражений для Xj ( t) и Уь ( 0 в среднюю часть цепочки равенств ( 19) показывает, что ( Xjt, У. И 0 такое произведение может быть постоянным, только будучи тождественно равным нулю, что и требовалось доказать. Эта ортогональность в сочетании с процессом ортого-нализации для случая кратных корней характеристического уравнения дает возможность построить биортого-нальные базисы в пространствах решений уравнений ( 1) и ( 17) и получить выражение для коэффициентов разложения ( 16) с помощью шимановских произведений начальной функции на экспоненциально-полиномиальные решения сопряженного уравнения. [18]
Оператор 3) ( 4) дает отображение A ( X) mi - A ( X) mi, где А ( Х) - кольцо дифференцируемых функций на X. В теории эллиптических операторов доказывается, что пространства Кег и А ( Х) т1 т2) ( называемое коядром и обозначаемое Coker ЗУ) конечномерны. Иными словами, пространство решений уравнения Z) / 0, / g - A ( Xf1, конечномерно и число условий ( на g) для разрешимости уравнения 3) fg, / 6A ( Х) т, конечно. [19]
JH является гладким пятимерным многообразием с конечным числом особых точек. Используемый нами подход отличается от подхода Дональдсона. Возмущение пространства модулей JH у Дональдсо-на не индуцировано возмущением метрики, и его более абстрактная постановка несколько упрощает его доказательство. Наши рассуждения немного сложнее, зато полученное нами возмущенное пространство модулей по-прежнему является пространством решений уравнений Янга - Миллса, только теперь для возмущенной метрики на базе. В обоих подходах для построения возмущений применяется теорема Сарда - Смейла. [20]