Cтраница 1
Пространство столбцов матрицы А легко определяется, поскольку оба столбца матрицы оканчиваются нулями: это пространство совпадает с плоскостью ху в трехмерном пространстве. [1]
Легко выделить два крайних варианта пространства столбцов матрицы. Тем не менее это ( не пустое. Это наименьшее из возможных векторных пространств. Пространством ее столбцов является все n - мерное пространство, так как каждый вектор-столбец с п компонентами может быть представлен в виде линейной комбинации столбцов единичной матрицы. Мы предполагаем, что эти компоненты являются вещественными числами, хотя могли бы рассматривать матрицы А и векторы х и b с комплексными компонентами, причем никаких новых проблем здесь не возникло бы. [2]
Как отмечалось в § 2.6, пространства столбцов матриц L и А совпадают. [3]
Но пространство Vg, порожденное столбцами матрицы А, отождествляется с пространством столбцов матрицы, которая получается из А удалением последних m - г нулевых строк. [4]
Другими словами, вектор р РЬ является компонентой вектора Ъ в пространстве столбцов матрицы, а ошибка Ь - РЬ является компонентой в его ортогональном дополнении. Иначе говоря, / - Р также является матрицей проектирования: она проектирует произвольный вектор b на это ортогональное дополнение, и соответствующая проекция равняется ( / - Р) Ь 6 - - Pb. ЭТ ( ЛТ), которое является ортогональным дополнением к пространству столбцов. [5]
В терминах подпространств это означает, что либо b находится в пространстве столбцов матрицы Л, либо он имеет ненулевую компоненту, лежащую в ортогональном подпространстве, которое является х левым нуль-пространством матрицы А. [6]
Тем не менее всякий раз, когда некоторые столбцы матрицы U образуют базис в пространстве столбцов матрицы U, соответствующие столбцы матрицы А образуют базис в пространстве столбцов матрицы А. [7]
К произведению матриц L и U мы применим утверждение ( И) для пространства столбцов произведений: пространство столбцов матрицы А LU содержится в пространстве столбцов матрицы L. Мы знаем, что пространство столбцов матрицы А имеет размерность г. Так как матрица L имеет только г столбцов, то ее пространство столбцов не может быть больше пространства столбцов матрицы А и, следовательно, эти два пространства столбцов совпадают. Матрица L имеет то же пространство столбцов, что и матрица А, а матрица U имеет то же пространство строк, что и матрица А. [8]
А г и гв ( А) г. Но пространство Ув, порожденное столбцами матрицы А, отождествляется с пространством столбцов матрицы, которая получается из А удалением последних т - г нулевых строк. [9]
Упражнение 2.4.5. Показать, что если ироизведение двух матриц А и В равно нулевой матрице ( Л5 0), то пространство столбцов матрицы В содержится в нуль-пространстве матрицы А. [10]
К произведению матриц L и U мы применим утверждение ( И) для пространства столбцов произведений: пространство столбцов матрицы А LU содержится в пространстве столбцов матрицы L. Мы знаем, что пространство столбцов матрицы А имеет размерность г. Так как матрица L имеет только г столбцов, то ее пространство столбцов не может быть больше пространства столбцов матрицы А и, следовательно, эти два пространства столбцов совпадают. Матрица L имеет то же пространство столбцов, что и матрица А, а матрица U имеет то же пространство строк, что и матрица А. [11]
Тем не менее всякий раз, когда некоторые столбцы матрицы U образуют базис в пространстве столбцов матрицы U, соответствующие столбцы матрицы А образуют базис в пространстве столбцов матрицы А. [12]
Упражнение 2.6.6. Показать на примере, что нуль-пространство матрицы АВ может не содержать нуль-пространство матрицы А, а пространство столб - UOh матрицы АВ может не содержаться в пространстве столбцов матрицы В. [13]
Плоскость является подмножеством множества всех трехкомпонентных векторов Ь ( Ьг, Ь2, Ь3), а это большее множество в свою очередь является векторным пространством, а именно всем трехмерным пространством. Мы называем ее пространством столбцов матрицы А, потому что она порождается этими столбцами. [14]
К произведению матриц L и U мы применим утверждение ( И) для пространства столбцов произведений: пространство столбцов матрицы А LU содержится в пространстве столбцов матрицы L. Мы знаем, что пространство столбцов матрицы А имеет размерность г. Так как матрица L имеет только г столбцов, то ее пространство столбцов не может быть больше пространства столбцов матрицы А и, следовательно, эти два пространства столбцов совпадают. Матрица L имеет то же пространство столбцов, что и матрица А, а матрица U имеет то же пространство строк, что и матрица А. [15]