Пространство - столбец - матрица
Cтраница 2
Чтобы доказать ( и), предположим, что матрица В образована из г линейно независимых строк матрицы А. В) г ( Л) г. Пространство столбцов матрицы В также должно иметь размерность г. Предположим далее, что С образована из г линейно независимых столбцов матрицы В. Тогда пространство столбцов матрицы С имеет размерность г и, следовательно, г ( С) г. Это завершает доказательство ( п): каждая матрица ранга г содержит невырожденную подматрицу размера гхг. [16]
Эта цель уже наполовину достигнута, поскольку мы знаем, чему равен вектор Ах. Для произвольного х вектор Ах обязательно лежит в пространстве столбцов матрицы А; он является комбинацией столбцов с компонентами вектора х в качестве весов. [17]
Выше было установлено, что ближайшая к b точка дается формулой р А ( ЛТЛ) - 1 АТЬ. Эта формула является матричной записью для перпендикуляра, опущенного из точки b на пространство столбцов матрицы А. [18]
Задача вновь состоит в выборе х, минимизирующего ошибку, и эта минимизация снова будет производиться по методу наименьших квадратов. Ошибка равняется Е Ах - b, и она в точности представляет собой расстояние от b до точки Ах, лежащей в пространстве столбцов матрицы А. Поэтому отыскание решения х по методу наименьших квадратов, означающее минимизацию ошибки Е, эквивалентно отысканию точки р Ах, ближайшей к точке b по сравнению с остальными точками из пространства столбцов. [19]
К произведению матриц L и U мы применим утверждение ( И) для пространства столбцов произведений: пространство столбцов матрицы А LU содержится в пространстве столбцов матрицы L. Мы знаем, что пространство столбцов матрицы А имеет размерность г. Так как матрица L имеет только г столбцов, то ее пространство столбцов не может быть больше пространства столбцов матрицы А и, следовательно, эти два пространства столбцов совпадают. Матрица L имеет то же пространство столбцов, что и матрица А, а матрица U имеет то же пространство строк, что и матрица А. [20]
Чтобы доказать ( и), предположим, что матрица В образована из г линейно независимых строк матрицы А. В) г ( Л) г. Пространство столбцов матрицы В также должно иметь размерность г. Предположим далее, что С образована из г линейно независимых столбцов матрицы В. Тогда пространство столбцов матрицы С имеет размерность г и, следовательно, г ( С) г. Это завершает доказательство ( п): каждая матрица ранга г содержит невырожденную подматрицу размера гхг. [21]
Совсем не ясно, имеет система уравнений ( 4) решения или нет. Другими словами, множество векторов Ь, для которых система Лх 0 разрешима, не совпадает с всем трехмерным пространством, несмотря на то что неизвестных здесь больше, чем уравнений. Мы уже знаем ( см. стр. Ах - Ь совместна тогда и только тогда, когда b принадлежит пространству столбцов матрицы А. [22]
Первое уравнение означает, что вектор w ортогонален к первой строке матрицы А или, более правильно ( сохраняя соглашение понимать под вектором вектор-столбец), к первому столбцу матрицы Лт. Второе уравнение утверждает ортогональность вектора w ко второму столбцу матрицы Лт. Продолжая аналогичные рассуждения, установим, что вектор w ортогонален к каждому столбцу матрицы Лт. Следовательно, он ортогонален ко всему пространству, порожденному этими столбцами, или, иначе говоря, к каждому вектору v из пространства столбцов матрицы Лт. Второе утверждение в теореме об ортогональности 91 ( Лт) ] ЩЛ) совпадает с первым, если его применить к матрице Лт. [23]
 |
Ортогональное разложение пространства R3. [24] |
Взятые вместе, они дают очень полную картину действия матрицы А. В данном параграфе определяется взаимное расположение этих четырех пространств: два из них являются ортогональными дополнениями друг к другу в R, а два других - ортогональными дополнениями друг к другу в Rm. R разлагается в сумму х - хг ха. Ат) в вектор Лхг Ах, принадлежащий пространству столбцов матрицы А, в то время как компонента хп. [25]
Страницы: 1 2