Cтраница 2
На практике, однако, в тех случи ях, когда известны теоремы об общем виде фуикцио - Ннла, вместо пространства функционалов рассматривают п: кморфное ему другое, более удобное для вычислений пространство. [16]
Функционал, отвечающий этой функции, будет сколь угодно близок к исходному. Это дает возможность построить в пространстве функционалов всюду плотную сеть достаточно гладких функций, которая и позволяет доказать все основные теоремы. [17]
В качестве одной из задач он рассмотрел пространства функционалов над функциями, имеющими непрерывные производные до порядка /, и определил в них понятие о решении волнового уравнения. [18]
Первая из них отвечает равномерной сходимости в пространстве функционалов, сопряженном нормированному, а вторая - точечной сходимости. Заметим, что в случае сопряженного пространства точечную сходимость называют слабой сходимостью, что будет еще подчеркнуто ниже. [19]
Неравенства ( 233) получаются из ( 234) и ( 235) двойным логарифмированием. Применим полученную теорему и неравенства ( 233) к пространству функционалов, удовлетворяющих условию Гельдера с показателем ( над изученными нами ранее пространствами. [20]
Норма пространства L при этом эквивалентна норме, индуцированной на L / y как подмножестве пространства функционалов. Так как пространства Lv полно по норме Орлича, то оно в пространстве функционалов образует замкнутое подпространство. Ly, вообще говоря, не совпадает с пространством функционалов на LM, так как имеет место следующая теорема. [21]
Будучи линейным оператором, A j отображает свою область определения в одном пространстве нелинейных ( липшице-вых) функционалов в другое пространство нелинейных ( липшицевых) функционалов. Если, однако, оператор А не является линейным, то A jf отображает У в пространство липшицевых функционалов. [22]
Пусть X - компактное хаусдорфово топологическое пространство, топология в С ( Х) - супремум топология, С ( X) - линейное пространство непрерывных функционалов. Тогда evn - гомеоморфизм на Фп ( Х) сС ( Х), если в пространстве функционалов берется слабая топология. Здесь Фп ( Х) - подпространство, состоящее из тех функционалов, которые являются п-гомоморфизмами в смысле нашего определения. [23]
Норма пространства L при этом эквивалентна норме, индуцированной на L / y как подмножестве пространства функционалов. Так как пространства Lv полно по норме Орлича, то оно в пространстве функционалов образует замкнутое подпространство. Ly, вообще говоря, не совпадает с пространством функционалов на LM, так как имеет место следующая теорема. [24]
Норма пространства L при этом эквивалентна норме, индуцированной на L / y как подмножестве пространства функционалов. Так как пространства Lv полно по норме Орлича, то оно в пространстве функционалов образует замкнутое подпространство. Ly, вообще говоря, не совпадает с пространством функционалов на LM, так как имеет место следующая теорема. [25]
Получаем yV - мерное пространство функционалов, не зависящее от выбора точки ид. Но мы должны взять в нем только касательное пространство. У нас есть точка UQ и есть касательное пространство размерности п в этой точке. Если взять эти функционалы, принадлежащие только касательному пространству, то это будет я-мерное пространство функционалов. Наша теорема заключается в том, что они и только они дают казимиры. Оставшиеся гамильтонианы, отвечающие нормальному пространству, порождают структурные потоки. Тем самым мы доказываем, что структурные потоки тоже являются гамильтоновыми системами с локальными гамильтонианами. Этот вывод довольно любопытен, потому что тем самым оказывается, что хотя мы работаем с локальными системами, с уравнениями в частных производных, мы не допускаем к рассмотрению никаких законов сохранения, которые сами не были бы интегралами от локальных плотностей, только локальные величины, однако тем не менее такие фундаментальные инварианты гамильтонова формализма, как казимиры, зависят от граничных условий, зависят от точки UQ. [26]