Cтраница 1
Векторное пространство размерности п, которое может служить моделью любого векторного пространства этой размерности, получается следующим образом. Определенные таким способом сложение и умножение на а удовлетворяют всем условиям, с помощью которых вводится понятие векторного пространства. [1]
Каждое векторное пространство размерности п над полем F, очевидно, изоморфно векторному пространству V ( n, F), состоящему из всех последовательностей длины п с элементами из F и с операциями, определяемыми покомпонентно. [2]
Пусть на векторном пространстве V размерности п над Я Е или Я С заданы две эрмитовы квадратичные формы ( т.е. квадратичные формы с вещественными значениями) q ( x) и г ( х), причем форма г ( х) положительно определена. [3]
Пусть R - векторное пространство размерности п и X - некоторое множество, элементы которого называются точками. Пара ( R, X) называется n - мерным аффинным пространством, если каждым двум точкам Л, В е X сопоставлен некоторый вектор, обозначаемый через АВ ( и принадлежащий векторному пространству Я), причем выполнены следующие аксиомы. [4]
Действительно, если V - векторное пространство размерности 2 и основное поле К - поле комплексных чисел, то нетрудно указать два автоморфизма порядка 2 пространства V, поро-ждакнщ. [5]
Возникает вопрос: существует ли в евклидовом векторном пространстве L размерности п ортогональная система, состоящая в точности из п ненулевых векторов. Такая система в силу леммы обязательно является базисом пространства, поэтому данный вопрос равнозначен следующему: существует ли в пространстве L ортогональный базис. Ответ на этот вопрос будет дан в следующем пункте. [6]
Таким образом, решения задачи пт образуют векторное пространство размерности k над полем комплексных чисел. [7]
Пусть А - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством V размерности п над полем Я. [8]
Определение: Система из k линейно независимых векторов в векторном пространстве S размерности k называется базисом в S. [9]
Пусть ф - гладкое класса 2 регулярное отображение гладкого многообразия Mk в векторное пространство Ст размерности r 2k и Bq ЕЕ G ( g, г - g) - проектирующее подпространство размерности g г - 2 / с пространства Сг на пространство Ар. Проектирование обозначим через я. Через Qq обозначим множество всех таких проектирующих подпространств Z. Q, для которых отображение яф не регулярно. Оказывается, что множество Qa имеет первую категорию в многообразии G ( g, r - q) всех проектирующих направлений. [10]
Сп точку ( az -); следует тщательно различать эту структуру и структуру векторного пространства размерности 2п относительно R, определенную в R2n ( гл. VI, § 1, п 3); мы закрепим обозначение С за произведением п топологических пространств, совпадающих с С, наделенным, кроме того, определенной выше структурой векторного пространства относительно С. [11]
Следовательно, если В - невырожденная симметрическая билинейная форма над V X V, где V - векторное пространство размерности б над алгебраически замкнутым полем К характеристики 0, то алгебра о ( В) изоморфна алгебре эндоморфизмов со следом 0 векторного пространства размерности 4 над полем К. При тех же обозначениях, что и выше, введем еще пространство Е2, дуальное к Е2 оно отождествляется с пространством кососимметри-ческих билинейных форм над U U ( том II, гл. Это - векторное подпространство размерности 5 в Е2, покажем, что ограничение формы В на W X W невырождено. [12]
Говоря о линейном представлении группы G, мы предполагаем, что нам дано ( вообще говоря, комплексное) векторное пространство R размерности п, в котором действуют невырожденные линейные операторы. [13]
Если поле F - бесконечно, то число возможных векторов также является бесконечным; если же F - поле порядка т, то векторное пространство V размерности N ( Л - мерное векторное пространство) содержит всего mN векторов. [14]
Таким образом отображение f удовлетворяет условию 11.1. Заметим теперь, что f отображает векторное пространство вещественной размерности 4 / г, 8п или 16п в векторное пространство размерности 3, 5 или 9 соответственно. [15]