Cтраница 2
Для каждой точки ( искривленного) многообразия размерности k в 2п2 - мерном евклидовом пространстве можно определить касательное пространство к многообразию в этой точке: это действительное векторное пространство размерности k, состоящее из векторов, касательных к многообразию в данной точке. [16]
Если Р содержит цепи произвольной длины, то R ( P, -) имеет как векторное пространство несчетную размерность, в то время как / порождает векторное пространство счетной размерности. [17]
Поскольку в n - мерном векторном пространстве любая линейно независимая система состоит не более чем из п векторов, из доказанной леммы вытекает такое следствие: в евклидовом векторном пространстве размерности п любая система ортогональных друг другу ненулевых векторов содержит не более п векторов. [18]
Следовательно, если В - невырожденная симметрическая билинейная форма над V X V, где V - векторное пространство размерности б над алгебраически замкнутым полем К характеристики 0, то алгебра о ( В) изоморфна алгебре эндоморфизмов со следом 0 векторного пространства размерности 4 над полем К. При тех же обозначениях, что и выше, введем еще пространство Е2, дуальное к Е2 оно отождествляется с пространством кососимметри-ческих билинейных форм над U U ( том II, гл. Это - векторное подпространство размерности 5 в Е2, покажем, что ограничение формы В на W X W невырождено. [19]
Действительно, возьмем в качестве основного поля К поле вещественных чисел, и пусть V - векторное пространство размерности 1 над К. V является инвариантом; эта группа сводится к единичному элементу. [20]
Предположим, начиная с этого момента, что поле К алгебраически замкнуто. Тогда, как известно, все симметрические ( соответственно кососиммет-рические) невырожденные билинейные формы над V X V эквивалентны между собой. Итак, если В - невырожденная симметрическая форма над V X V, где V - векторное пространство размерности 3 над алгебраически замкнутым полем К характеристики О, то алгебра о ( В) изоморфна алгебре эндоморфизмов со следом О векторного пространства размерности 2 иад полем К. Предположим теперь, что размерность, пространства V равна 6 и что форма В симметрическая. [21]
Унитарные модули над ассоциативным ( не обязательно коммутативным) телом К называются ( правыми) векторными пространствами над К; если К - поле, то добавлять правыми понятно, нет необходимости. Многообразие векторных пространств над телом К является одним из немногих примеров многообразий, все алгебры которых могут быть полностью описаны. С другой стороны, для всякой мощности т, конечной или бесконечной, над телом К существует векторное пространство размерности от. Наконец, два векторных пространства над телом К изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же размерность. [22]
Предположим, начиная с этого момента, что поле К алгебраически замкнуто. Тогда, как известно, все симметрические ( соответственно кососиммет-рические) невырожденные билинейные формы над V X V эквивалентны между собой. Итак, если В - невырожденная симметрическая форма над V X V, где V - векторное пространство размерности 3 над алгебраически замкнутым полем К характеристики О, то алгебра о ( В) изоморфна алгебре эндоморфизмов со следом О векторного пространства размерности 2 иад полем К. Предположим теперь, что размерность, пространства V равна 6 и что форма В симметрическая. [23]