Cтраница 2
Росток аналитического векторного поля на плоскости имеет особую точку типа центр, если выполнено счетное число условий на нелинейные члены. Поэтому невозможно указать проверяемый критерий наличия центра в сколько-нибудь общих бесконечномерных классах уравнений. Реалистической представляется следующая постановка проблемы. Каждый шаг алгоритма использует лишь конечную струю исследуемого поля и осуществляется с помощью алгебраических действий и интегрирования. Для всех ростков гладких или аналитических векторных полей в особой точке на плоскости, не принадлежащих некоторому исключительному множеству коразмерности бесконечность в соответствующем функциональном пространстве, алгоритм останавливается за конечное число шагов, и в этом случае особая точка является фокусом. [16]
Множество моделей, для которых найдены точные решения, пока еще очень далеко от богатого ассортимента фазовых переходов, активно изучаемых в физике и технике. Необходим полумакроскопический вариант термодинамики, который хотя и не идет вглубь до самого статистического ансамбля микросостояний, но все же может учесть пространственные вариации. Как в случае теории Ландау, так и при более тонких подходах используют метод, заключающийся в том, что одно-единственное число или вектор ( скажем, плотность или намагничение) заменяют гладко меняющейся в пространстве величиной. Места для повторения всего этого у нас нет, но читатель может считать, что повторение состоялось и с подчеркиванием. Это приводит нас к бесконечномерным пространствам функций и вовлекает в тяготы функционального анализа. Чтобы быть точными: нужно аккуратно определить соответствующее функциональное пространство и его топологию ( возможно, стоит использовать замечательные типы пространств, обсуждавшиеся в § 7 предыдущей главы), однако в этом аспекте, насколько мы знаем, проблема еще не рассматривалась. Поэтому мы пойдем по пути, проложенному много лет назад Дираком, и допустим, что бесконечномерное пространство - это то же самое, что и конечномерное, только не совсем. [17]