Cтраница 3
Заметим, что при строгом аналитическом подходе все геометрически очевидные факты, касающиеся областей и кривых, лежащих в двумерном арифметическом пространстве, нуждаются, вообще говоря, в чисто аналитической, не опирающейся на наглядность проверке. Подобная проверка иногда в дальнейшем будет предоставляться читателю; она всегда легко проводится для конкретных областей и кривых, встречающихся на практике, и может ( в отдельных случаях) быть более сложной для кривых и областей общего вида. [31]
Доказать, что каждая из двух систем векторов fit, fn и gi ffn является базисом в комплексном n - мерном арифметическом пространстве, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. [32]
По той же причине к векторам оказываются применимыми все определения и теоремы, связанные с линейными комбинациями и линейной зависимостью элементов арифметического пространства. В частности, любой вектор xi, x2, жз может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов GI 1, 0 0, G2 0 1, 0, ез О, 0 1, коэффициентами которой являются координаты этого вектора. Ясно, что векторы GI, G2, ез - это единичные векторы, лежащие на осях Ох, Ох2 и Ожз - Как и прежде, будем называть их координатными векторами. [33]
Пусть А - симметрическая ( или эрмитова) матрица порядка п, ф - линейное преобразование вещественного ( комплексного) - мерного арифметического пространства со стандартным скалярным произведением, определяемое матрицей А в стандартном базисе пространства. [34]
Пусть А-матрица линейного преобразования ф - мерного евклидова ( унитарного) пространства в ортонормированном базисе, 9tn () - вещественное ( комплексное) арифметическое пространство со стандартным скалярным произведением. [35]
Из теорем п.п. 4 и 5 следует, что векторы, рассматриваемые как упорядоченные наборы чисел, складываются и умножаются точно также, как элементы арифметического пространства. Поэтому сложение векторов и умножение вектора на число обладают всеми теми же свойствами, что и соответствующие операции в арифметическом пространстве. [36]
В методических указаниях по курсу Математический анализ11 обсуждаются основные вопросы, спзанные с непрерывными функциями нескольких переменных, рассматривается ряд понятий, возникающих в рамках топологической структуры арифметического пространства. [37]
В этой главе используются следующие основные понятия: операция евклидова скалярного умножения в вещественном линейном пространстве, операция унитарного скалярного умножения в комплексном линейном пространстве, скалярное произведение двух векторов, линейное пространство со скалярным произведением, евклидово пространство, унитарное пространство, стандартные скалярные произведения в л-мерном вещественном ( комплексном) арифметическом пространстве Яп ( Gn) и в вещественном ( комплексном) линейном пространстве Ятхп ( CmXn) вещественных ( комплексных) матриц размеров т X п, матрица Грома системы векторов, матрица Г рама базиса, длина ( норма) вектора, нормирование вектора, угол между двумя векторами, ортогональность двух векторов, ортогональная система векторов, ортонормированная система векторов, ортонормированный базис, процесс ортогонализа-ции, биортогональные ( или взаимные) системы векторов, биортогональ-ные базисы, ортогональность вектора линейному подпространству, ортогональное дополнение линейного подпространства, ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая вектора относительно подпространства, ортогональность двух подпространств, ортогональная сумма подпространств, угол между вектором и подпространством, угол между двумя подпространствами. [38]
В этой главе используются следующие основные понятия и термины: вещественное линейное пространство ( линейное пространство над полем вещественных чисел), комплексное линейное пространство ( линейное пространство над полем комплексных чисел), линейная комбинация векторов, линейно зависимая система векторов, базис в линейном пространстве, координаты вектора в базисе, координатный столбец вектора, конечномерное линейное пространство и его размерность, арифметическое пространство ( вещественное и комплексное ], бесконечномерное линейное пространство, матрица перехода от одного базиса к другому, линейное подпространство, нулевое подпространство, линейная оболочка системы векторов ( линейное подпространство, натянутое на эту систему векторов), сумма и пересечение двух ( и любого конечного числа) подпространств, прямая сумма двух ( и любого конечного числа) подпространств. [39]
В этой главе используются следующие основные понятия и термины: вещественное линейное пространство ( линейное пространство над полем вещественных чисел), комплексное линейное пространство ( линейное пространство над полем комплексных чисел), линейная комбинация векторов, линейно зависимая система векторов, базис в линейном пространстве, координаты вектора в базисе, координатный столбец вектора, конечномерное линейное пространство и его размерность, арифметическое пространство ( вещественное и комплексное), бесконечномерное линейное пространство, матрица перехода от одного базиса к другому, линейное подпространство, нулевое подпространство, линейная оболочка системы векторов ( линейное подпространство, натянутое на эту систему векторов), сумма и пересечение двух ( и любого конечного числа) подпространств, прямая сумма двух ( и любого конечного числа) подпространств. [40]
Отметим, что в случае, когда полунорма не является нормой даже такая простая функция как линейная на конечномерном линейном полунормированном пространстве может оказаться не непрерывной. Рассмотрим, например, двумерное арифметическое пространство X векторов x ( xt, xz) с полунормой 11 1 хг. Наконец, если у ( уъ z / 2) также является элементом из X, то x y ( xi - - yi, Хъ у), следовательно х УII X. Таким образом, все свойства полунормы выполнены. [41]
Все изложенное в последних пп можно рассматривать как установление лишь некоего геометрического языка; с этим не связано ( при п 3) никаких реальных геометрических представлений. Однако полезно подчеркнуть, что на деле / 7-мерное арифметическое пространство является лишь первым шагом к тем в высшей степени плодотворным обобщениям понятия пространства, которые лежат в основе многих более высоких частей современного анализа. [42]
Полезно обратить внимание на то обстоятельство, что в атих рассуждениях, как и в топологических определениях участвующих здесь понятий, отсутствует упоминание о координатах. Иногда можно даже забыть о том, что все события у кае происходят в арифметических пространствах. В самом деле, большинство из понятий и утверждений, которые уже были или еще будут рассмотрены, непо - средственно переносятся на произвольные так называемые топологические пространства. Следует, однако, сразу же подчеркщгть что с точки зрений общей теории топологических пространств определенная выше стандартная топология арифметического пространства обладает многими специфическими свойствами и некоторые из доказываемых далее содержательных теорем являются отражением именно таких свойств. [43]
Из теорем п.п. 4 и 5 следует, что векторы, рассматриваемые как упорядоченные наборы чисел, складываются и умножаются точно также, как элементы арифметического пространства. Поэтому сложение векторов и умножение вектора на число обладают всеми теми же свойствами, что и соответствующие операции в арифметическом пространстве. [44]
Полезно обратить внимание на то обстоятельство, что в атих рассуждениях, как и в топологических определениях участвующих здесь понятий, отсутствует упоминание о координатах. Иногда можно даже забыть о том, что все события у кае происходят в арифметических пространствах. В самом деле, большинство из понятий и утверждений, которые уже были или еще будут рассмотрены, непо - средственно переносятся на произвольные так называемые топологические пространства. Следует, однако, сразу же подчеркщгть что с точки зрений общей теории топологических пространств определенная выше стандартная топология арифметического пространства обладает многими специфическими свойствами и некоторые из доказываемых далее содержательных теорем являются отражением именно таких свойств. [45]