Cтраница 2
Поскольку замыкание любого множества есть замкнутое множество, то на основании теоремы 5.6 каждое компактное топологическое пространство локально компактно. Но понятия компактности и локальной компактности не совпадают, так как существуют локально компактные, но не компактные топологические пространства. [16]
Важными вехами в истории общей топологии стали выход в 1929 г.) Мемуара о компактных топологических пространствах П. С. Александрова и П. С. Урысона, монографии Торо-logie К - Куратовского ( 1933 г.) и знаменитой монографии Topologie I П. С. Александрова и X. [17]
Действительно, пусть / и F2 - два непересекающихся замкнутых множества, лежащих в компактном топологическом пространстве со счетной базой. [18]
Теорема 10.7. Пусть С - относительно открытое выпуклое множество в Ш, Т - локально компактное топологическое пространство ( например, любое открытое или замкнутое подмножество в Шт) и f - вещественная функция на С X Т, такая, что f ( x, f) как функция от х выпукла для любого t 6 Т и как функция от t непрерывна для любого х 6 С. [19]
Если М - n - мерное многообразие, то по теореме 7.3 Мп является локально компактным топологическим пространством. Тогда из хаусдорфовости М, согласно теореме 5.19, следует его регулярность. Согласно теореме 4.15, пространство Мп метризуемо, так как оно регулярно и удовлетворяет второй аксиоме счетности. [20]
Пусть С и D - относительно открытые выпуклые подмножества в 01 и R соответственно и Т - локально компактное топологическое пространство. [21]
Теорема 10.2. Пусть у алгебры В типа С ( Л, Т) алгебра А имеет не более счетного числа образующих и изоморфна алгебре непрерывных матриц-функций на компактном топологическом пространстве. [22]
Поскольку замыкание любого множества есть замкнутое множество, то на основании теоремы 5.6 каждое компактное топологическое пространство локально компактно. Но понятия компактности и локальной компактности не совпадают, так как существуют локально компактные, но не компактные топологические пространства. [23]
Заметка была написана в феврале 1923 г. в связи с окончанием названного мемуара. В настоящее время она представляет лишь интерес первой публикации П. С. Урысона и П. С. Александрова, посвященной данному кругу вопросов. В отличие от этого в мемуаре О компактных топологических пространствах было впервые предпринято построение теории топологических пространств как нового объекта математического исследования, имеющего свою специфическую, интересную, а порою И трудную проблематику. Чеха, Стона и ряда других математиков и в настоящее время является самостоятельной главой математики, тесно связанной с такими ее отделами, как топологическая алгебра, функциональный анализ и др. С этой точки зрения вступительная часть комментируемой заметки может рассматриваться как программа дальнейших исследований. По всем вопросам, относящимся к осуществлению этой программы, см. мемуар О компактных топологических пространствах и сопровождающие его примечания, в которых отражена и последующая литература. [24]
Выведем необходимые и достаточные условия, при которых h является дифференцируемой в дайной точке, и найдем выражение для ее частных производных и производных по направлению. Главным инструментом, используемым при выводе, является результат, принадлежащий Данскину [12], который справедлив для любой функции ф, определенной как минимум некоторой другой функции F ( x u) на x S. Этот результат является вполне общим и остается справедливым, когда х представляет собой элемент произвольного компактного топологического пространства. [25]
Случайные динамические системы ( СДС) описывают временные эволюции при наличии случайного шума. По техническим причинам обычно предполагается, что обратимо и эргодично. Динамика СДС происходит в пространстве состояний X, которое, как здесь мы предполагаем, является компактным топологическим пространством, оснащенным соответствующей боре-левской сг-алгеброй подмножеств множества X. При дискретном времени СДС ф задается на X композицией случайных непрерывных отображений ф ( ш), ш е О. [26]
Вопрос этот не решен и до сих пор. По этому поводу уместно заметить следующее. Для того чтобы бикомпактное пространство удовлетворяло первой аксиоме счетности, достаточно ( и, очевидно, необходимо), чтобы каждая его точка была пересечением счетного числа открытых множеств. В мемуаре О компактных топологических пространствах доказана следующая теорема: если в данном бикомпактном пространстве каждое замкнутое множество является пересечением счетного числа открытых множеств, то пространство имеет мощность, не превосходящую мощности континуума. [27]
Заметка была написана в феврале 1923 г. в связи с окончанием названного мемуара. В настоящее время она представляет лишь интерес первой публикации П. С. Урысона и П. С. Александрова, посвященной данному кругу вопросов. В отличие от этого в мемуаре О компактных топологических пространствах было впервые предпринято построение теории топологических пространств как нового объекта математического исследования, имеющего свою специфическую, интересную, а порою И трудную проблематику. Чеха, Стона и ряда других математиков и в настоящее время является самостоятельной главой математики, тесно связанной с такими ее отделами, как топологическая алгебра, функциональный анализ и др. С этой точки зрения вступительная часть комментируемой заметки может рассматриваться как программа дальнейших исследований. По всем вопросам, относящимся к осуществлению этой программы, см. мемуар О компактных топологических пространствах и сопровождающие его примечания, в которых отражена и последующая литература. [28]