Cтраница 2
По аналогии с пространствами направленных отрезков назовем два вектора х, у любого линейного пространства коллинеар-ными, если либо х Ху, либо у - [ лх для некоторых чисел Я, JLI. В силу равенства 0 0 заключаем, что два вектора заведомо коллинеарны, если среди них имеется хотя бы один нулевой. Весьма удобным средством проверки векторов на коллинеарность является неравенство Коши - Буняковского. [16]
Описанный здесь пример ( в определенном смысле) является самым общим, так как любое линейное пространство изоморфно некоторому линейному пространству комплекснозначных функций. [17]
О Замечание 4.4. Еиектйвпость отображений ( Р 8): 8 - - Р й в теореме 4.1 в силу леммы 1.27 имеет место для любого линейного пространства 6 с ( Э - формой IX У ] ( см - § 1) п - 1)) допускающего разложение в прямую ( и даже не обязательно ( - ортогональную. [18]
Замечания, а) Можно было бы рассматривать произвольные семейства векторов и называть такое семейство базисом, если любой вектор пространства однозначно представляется в виде конечной линейной комбинации элементов семейства. В этом смысле любое линейное пространство имеет базис, и у бесконечномерного пространства базис всегда бесконечен. Однако это понятие не слишком полезно. Как правило, бесконечномерные пространства снабжаются топологией, и определение базиса видоизменяется с учетом этой топологии и возможности определять некоторые бесконечные линейные комбинации. [19]
Так как любое подпространство ЛТП является ЛТП в индуцированной топологии, то, в частности, Фо ( 5, К) является ЛТП. Это дает способ превращения любого линейного пространства Е в ЛТП, ибо ЕжФо ( В, К), где В - базис. Полученная топология, вообще говоря, зависит от выбора базиса. [20]
Вместе с этим и наша лемма оказывается справедливой для любого линейного пространства, что нам и требуется. [21]
Тогда для любого линейного пространства Z, над Ж можно определить линейное пространство / ( 6) L, или / Д над К, сохранив размерность. [22]
Наш интерес к линейным оболочкам объясняется двумя обстоятельствами. Во-первых, любая линейная оболочка устроена просто - это совокупность всех линейных комбинаций векторов заданной системы. Во-вторых, линейная оболочка любой системы векторов из любого линейного пространства сама является линейным пространством. [23]