Cтраница 2
Тот факт, что в топологическом линейном пространстве топология связана с линейными операциями, определенными в нем, накладывает на его топологию довольно жесткие ограничения. Именно, в топологическом линейном пространстве Е точка х и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности. [16]
Беря всевозможные е, получим определяющую систему окрестностей нуля. В случае, когда Е - не нормированное, а топологическое линейное пространство, вместо единичного шара в Е естественно взять произвольное ограниченное множество А. [17]
Топологические пространства, удовлетворяющие аксиомам отделимости 7 и Т3, мы назвали в гл. II регулярными; из доказанного в предыдущем абзаце следует, что отделимое топологическое линейное пространство регулярно. [18]
Топологические пространства, удовлетворяющие аксиомам отделимости T. II регулярными; из доказанного в предыдущем абзаце следует, что отделимое топологическое линейное пространство регулярно. [19]
Легко проверить, что так определенные операции сложения функционалов и умножения их на числа удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства. Иначе говоря, совокупность всех непрерывных линейных функционалов, определенных на некотором топологическом линейном пространстве Е, образует линейное пространство. [20]
III мы уже рассматривали функционалы, определенные на линейном пространстве. Если речь идет о функционалах, заданных на топологическом линейном пространстве, то основной интерес представляют н е п р е ры вн ы е функционалы; как обычно, функционал /, определенный на пространстве Е, называется непрерывным, если для всякого е0 и всякого ха. [21]