Cтраница 1
Линейное метрическое пространство называется банаховым, если расстояние между его элементами зависит только от их разности. Аналогичным свойством обладают и все гильбертовы пространства. Отличие от гильбертова пространства состоит в том, что в банаховом пространстве при определении расстояния не используется понятие скалярного произведения; расстояние задается абстрактно, то есть перечислением его свойств. Само же скалярное произведение при описании банаховых пространств не упоминается. Каждое гильбертово пространство является банаховым, однако обратное утверждение неверно. [1]
Если X - линейное метрическое пространство, Y-банахово, а оператор В линеен и непрерывен, то квазирешение существует для любого компакта М и любого у N. Для единственности квазирешения необходимо и достаточно, чтобы N было строго выпуклым. Таким образом, квазирешение является таким обобщением точного решения, при котором по Ж - Адамару сохраняется корректность задачи. С, где Q ( jt) - неотрицательный выпуклый функционал, удовлетворяющий некоторым дополнительным предположениям. [2]
Пусть F - линейное метрическое пространство, В - его замкнутое множество и f [ z ] - неотрицательный функционал, определенный и непрерывный на F. Пусть, далее, fi [ z ] - стабилизирующий функционал, определенный на множестве F с F и порождающий на FI гильбертово пространство F с мажорантной метрикой. [3]
Очевидно, что У является линейным метрическим пространством. Мы утверждаем, что пространство У банахово. [4]
Пусть А - непрерывный оператор из линейного метрического пространства F в метрическое пространство U и Q [ z ] - стабилизирующий функционал, определенный на множестве F с F, порождающий гильбертово пространство F с мажорантной метрикой. [5]
Пусть Ah - непрерывный оператор из линейного метрического пространства F в метрическое пространство U и Q [ z ] - стабилизирующий функционал, порождающий гильбертово пространство FI с мажорантной метрикой. [6]
Докажем прежде всего, что 1 % является линейным метрическим пространством. [7]
L ] при всех ps 1 действительно является линейным метрическим пространством. [8]
Мы показали, таким образом, что аетно-нормирован-ное пространство является одновременно линейным метрическим пространством, причем топология, определяемая метрикой, эквивалентна исходной топологии. [9]
Наиболее простой и в то же время физически достаточно содержательной является трактовка сигналов как элементов нормированного линейного метрического пространства. [10]
Правая часть формулы ( 2 - 4) есть норма функции s ( t) в линейном метрическом пространстве. [11]
Таким образом доказывается существование регуляри-зирующих операторов для любого уравнения вида ( 2; 0 1) с непрерывным оператором А, действующим из линейного метрического пространства F, обратный к которому А - может быть определенным не на всяком элементе и е U и не является непрерывным. [12]
Ниже доказывается существование элемента г г ( см. теорему 3), минимизирующего функционал Ма [ z, ue ], для произвольного непрерывного оператора А, действующего из линейного метрического пространства F в метрическое пространство U, и любого стабилизирующего функционала Q [ z ], определенного на множестве F aF, порождающего гильбертово пространство F с мажорантной метрикой. В следующем параграфе рассматриваются условия разрешимости уравнения pv ( Aza, цв) б относительно а. В частности, доказывается однозначная разрешимость его для линейных непрерывных операторов А, если пространство U гильбертово, функционал Q [ г ] при всяком z e FI имеет не равную нулю ( при z т 0) производную Фреше Q [ z ] и &. Таким образом, в этих условиях устанавливается реализуемость метода Лагранжа. [13]
Но как известно, для всякого полного линейного метрического пространства ( Е, д) пространство выпуклых компактов с метрикой hg является полным. Таким образом, секвенциальная замкнутость конуса доказана. Для доказательства замкнутости остается отметить, что в ( L ( E T) топология метризуема и, следовательно, секвенциальная замкнутость эквивалентна замкнутости ( см., напр. [14]
В настоящей главе рассматривается ряд основных понятий дифференциального исчисления функций ( отображений, преобразований) одного конечномерного пространства в другое. Пространства Ят и Я будем рассматривать как линейные метрические пространства с евклидовым расстоянием, а элементы этих пространств - как векторы-столбцы. Евклидово расстояние в пространствах Rm и Я обозначаются рт и рп соответственно. Умножение матриц на число и их сложение понимаются обычным образом. [15]