Cтраница 2
Некоторые авторы понимают под линейным пространством множество элементов, обладающих определенными свойствами линейности, тогда как другие обозначают тем же термином множество, в котором уже введена определенная ( линейная) метрика или топология. В данной книге под линейным пространством понимается линейное метрическое пространство. Подпространством полного метрического пространства всегда называется полное линейное подпространство. [16]
ЛТП называется локально ограниченном, если в нем существует ограниченная окрестность нуля IF. В этом случае для любой последовательности чисел ап0, стремящейся к нулю, множества anW составляют базу окрестностей нуля. Следовательно, любое локально ограниченное ЛТП метризуемо, а локальная ограниченность ЛВП эквивалентна нормируемости. Поэтому, если метризуемое ЛВП не нормируемо, то шары в нем не ограничены. В нормированном пространстве эти понятия эквивалентны, в линейном метрическом пространстве с инвариантной метрикой топологическая ограниченность влечет метрическую. [17]