Cтраница 1
Антидискретное пространство не является ни Т0 ни Tj-пространст-вом, так как у любой точки имеется только одна окрестность - носитель топологии. В связи с этим антидискретное пространство с двухточечным носителем топологии часто называют слипшимся двоеточием. [1]
Антидискретное пространство не удовлетворяет первой аксиоме отделимости, а потому не является нормальным. [2]
В антидискретном пространстве первая аксиома отделимости не выполняется, а потому оно не регулярно. Третья аксиома отделимости выполняется. [3]
В антидискретном пространстве любая последовательность его точек сходится к каждой точке х 6 X, так как х имеет только одну окрестность ( множество X), и она содержит все точки последовательности. [4]
Поскольку в антидискретном пространстве, кроме носителя топологии и пустого множества, нет других множеств, одновременно открытых и замкнутых, то это пространство связно. [5]
Отобразим вещественную прямую R X на двухточечное антидискретное пространство У 0, 1, поставив в соответствие 0 всем рациональным числам и 1 всем иррациональным числам. Легко показать, что это открытое отображение ( ср. [6]
Если ( X, т) - антидискретное пространство, то множества 0 и X являются его единственными замкнутыми множествами. [7]
Пусть / отображает произвольное топологическое пространство X в антидискретное пространство Y. Поскольку в Y открыты только пустое множество и Y, их прообразы / - 1 ( 0) 0, / - ( У) X открыты в X, то отображение / непрерывно независимо от того, какая топология задана в X. [8]
Сделанное выше замечание о том, почему в определении регулярности пространства X требуется, чтобы оно было Ггпро-странством, относится и к определению тихоновских и нормальных пространств. Иллюстрацией служит антидискретное пространство. [9]
Антидискретное пространство не является ни Т0 ни Tj-пространст-вом, так как у любой точки имеется только одна окрестность - носитель топологии. В связи с этим антидискретное пространство с двухточечным носителем топологии часто называют слипшимся двоеточием. [10]
X, выделить в нем пару непересекающих замкнутых множеств А, В с: X, которые не разделяются непересекающимися открытыми множествами, и отождествить множество А с некоторой точкой и, а множество В с некоторой точкой 6, как описано в примере 1.4.17 ( ср. Замкнутое отображение Г0 - пространства на двухточечное антидискретное пространство построено ниже. [11]
Топологическое пространство X называется Т0 - пространством, если для каждой пары различных точек х, Xz X существует открытое множество, содержащее ровно одну из этих точек. Примерами топологических пространств, не являющихся Го-пространствами, служат антидискретное пространство и пространство, описанное в 1.2.10. Все другие определенные выше пространства суть Го-пространства. [12]
Если X - дискретное пространство, то каждое его отображение в любое топологическое пространство У непрерывно. Аналогично, всякое отображение любого топологического пространства X в любое антидискретное пространство У непрерывно. [13]
Ясно, что всякое регулярное пространство X является хаус-дорфовым. Именно для справедливости этого утверждения мы предположили ( кроме возможности отделять точки от замкнутых множеств), что А является - пространством. Антидискретное пространство обладает требуемым свойством отделимости, однако не является - пространством. Все описанные выше хаус-дорфовы пространства регулярны. Приведем теперь пример нерегулярного хаусдорфова пространства. [14]
Существуют топологические пространства, на которых можно задать очень мало непрерывных функций, а также пространства, на которых кроме функции, равной константе, нет других непрерывных вещественных функций. Тривиальным примером такого пространства является антидискретное пространство. [15]