Cтраница 2
Если А ж В совпадают, так что С - замкнутый контур и можно обозначить рассматриваемый интеграл через / ( С), то б / ( С) 0 для произвольной вариации контура. Этот результат заключает в себе условие, что / ( С) имеет одно и то же значение для всех совместимых контуров и / ( С) 0 для стягиваемых в точку контуров. [16]
Однако, поскольку вариации p - t не влияют на вариацию интеграла действия, можно расширить формулировку первоначального вариационного принципа и утверждать, что интеграл действия принимает стационарное значение даже и при произвольных вариациях pt, когда pi рассматриваются как вторая система независимых переменных. [17]
Определим характеристическую функцию Гамильтона. Основное уравнение (27.1.5) определяет вариацию характеристической функции при произвольных вариациях ее 2п 1 аргументов. [18]
При тензометрировании признаком синхронного изменения компонентов ах, ау и тжу является геометрическое подобие трех осциллограмм деформаций, воспринимаемых тензорезисторами розетки. Однако на реальных объектах чаще всего получаются осциллограммы с разными, произвольными вариациями. В соответствии с этим ах, av и тжу изменяются по разным законам. В общем случае они являются независимыми переменными параметрами с произвольными нестационарными законами изменения. Чтобы определить однозначным образом изменение напряженного состояния, необходимо и достаточно установить все три закона, не редуцируя их к одному закону и одной кривой усталости. [19]
В § 147 Эйлер вследствие допущенной ошибки приходит к противоречию, которого он не разъясняет. Во избежание этого противоречия ему приходится ограничиться частным случаем и отказаться от произвольной вариации - границы варьируемой поверхности. [20]
Из вариационного исчисления известно [40], что условием абсолютного экстремума функционала является равенство нулю вариации этого функционала. Очевидно, что если достигнуто оптимальное распределение параметра F ( r), то при небольших произвольных вариациях этого параметра в точке г вариация функционала равна нулю. [21]
По правилам вариационного исчисления мы умножим каждое уравнение ( Ь) на пока произвольные функции L от координат хг и сложим сумму левых сторон полученных уравнений ( она равна нулю) с вариациями элементов интеграла. Посредством интегрирования по частям исключаем дифференциалы вариаций; наконец, полагаем равными нулю множители при произвольных вариациях дхг. [22]
Как мы уже говорили, уравнения ( 10) показывают, что среди Зл вариаций 8л:, S yv, 82, только k вариаций будут независимыми, а остальные h будут выражены линейно из уравнений ( 10) в функции этих k независимых вариаций. Мы могли бы подставить полученные таким образом значения в общее уравнение динамики ( 1), которое должно было бы после этого удовлетворяться при любых значениях произвольных вариаций. [23]
Таким образом, мы доказали, что, отправляясь от действительного движения и варьируя путь указанным выше способом, мы приходим к равенству (3.7.4), которое выражает необходимое условие движения. Это условие, однако, является также и достаточным. TV-мерном пространстве, удовлетворяющий условиям (2.2.5), и если равенство (3.7.4) справедливо для произвольной вариации описанного типа, то исходное движение является действительным ( динамически возможным) движением системы. Для доказательства заметим, что условие (3.7.4) означает, что правая часть равенства (3.7.3) обращается в нуль для всех вариаций 6х описанного выше типа. [24]