Cтраница 1
Варьирование действия по ( р приводит к эрмитово сопряженному уравнению. [1]
Прежде чем переходить к варьированию действия ( 45) по полю, чтобы получить уравнения движения поля в присутствии зарядов, удобно будет преобразовать Slnt ( 44) к другой форме, так, чтобы в нем, так же как и в Sph, вошло бы интегрирование по 4-объему, а не по мировым линиям частиц. [2]
Найдем теперь уравнения, следующие из варьирования действия по скалярным полям. Скалярные поля содержатся только в Sv, поэтому достаточно варьировать только эту часть действия. [3]
Это обстоятельство должно быть учтено при варьировании действия. [4]
Гаусса интеграл по 4-объему преобразуется в интеграл по граничным гиперповерхностям; при варьировании действия эти интегралы выпадают и, таким образом, не отражаются на уравнениях движения. [5]
Тот факт, что при варьировании SF необходимо считать ty ( или) независимой переменной, аналогичен рецепту варьирования действия для комплексного скалярного поля, при котором ( р и р считаются независимыми переменными. [6]
Полная производная по времени при интегрировании в интеграле действия даст величину, не зависящую от пути интегрирования, которая исчезает при варьировании действия. [7]
Тензор энергии-импульса 6 j называют симметричный тензор энергии-импульса ( иногда говорят - метрический, поскольку в общей теории относительности показывают, что его можно получить варьированием действия по метрическому тензору ga), наш первоначальный Тц, в отличие от него, называют канонический тензор энергии-импульса. [8]
Существенное отличие, однако, состоит в том, что теперь при варьировании по х следует учитывать зависимость метрики от координат. Последовательное варьирование действия (11.1) нарушает общую ковариантность теории, поскольку из четырех компонент 4-скорости u dx / ds в силу равенства и и 1 независимыми являются лишь три, поэтому в СТО мы выбирали в качестве независимых переменных лишь пространственные координаты. Соотношение g vU u 1 является условием связи, которое вытекает из уравнения движения. [9]
Согласно теореме Гаусса, этот второй интеграл можно преобразовать в интеграл по гиперповерхности, охватывающей 4-объем, по которому производится интегрирование в двух других интегралах. При варьировании действия вариация второго члена справа, следовательно, исчезает, так как по смыслу принципа наименьшего действия на границах области интегрирования вариация поля равна нулю. [10]
Согласно теореме Гаусса этот второй интеграл можно преобразовать в интеграл по гиперповерхности, охватывающей 4-объем, по которому производится интегрирование в двух других интегралах. При варьировании действия вариация второго члена справа, следовательно, исчезает, так как по смыслу принципа наименьшего действия на границах области интегрирования вариация поля равна нулю. [11]
Согласно теореме Гаусса этот второй интеграл можно преобразовать в интеграл по гиперповерхности, охватывающей 4-объем, по которому производится интегрирование в двух др уг их интегралах. При варьировании действия вариация второго члена справа, следовательно, исчезает, так как по смыслу принципа наименьшего действия на границах области интегрирования вариация поля равна нулю. [12]
Найдем теперь уравнения, следующие из варьирования действия по скалярным полям. Скалярные поля содержатся только в Sv, поэтому достаточно варьировать только эту часть действия. [13]
Прежде чем переходить к описанию максвеллонекого поля в ОТО, рассмотрим теорию безмассового скалярного поля; подобные поля, хотя до сих пор и не наблюдались экспериментально, играют важную роль в теоретических исследованиях последних десятилетий. На этом примере мы проследим возникновение тензора энергии-импульса при варьировании действия по метрике, а также обсудим возможность неминимального гравитационного взаимодействия. [14]
Из сказанного следует, что под знаком интеграла в действии Sf должно стоять выражение, квадратичное по полю. Только в этом случае уравнения поля будут линейными, - уравнения поля получаются варьированием действия, а при варьировании степень подынтегрального выражения понижается на единицу. [15]