Cтраница 1
Варьяции дх в таком только случае будут связаны между собою уравнение ( а), когда ddt 0; но этого Лагранж не предполагает, что ясно видно из формулы, находящейся в конце стр. [1]
U и варьяциях dqn какие требует последнее. [2]
Остроградский) при этом варьяции координат или главных переменных, заменяющих координаты, обусловливаются уравнением, происходящим от варьяции уравнения живой силы; между тем как для вывода изопериметрических уравнений, содержащих в себе уравнения динамики, необходимо рассматривать эти варьяции как величины совершенно независимые. После того Остроградский в подтверждение своего мнения показывает, что если приложим общий способ разыскания относительных max или min к интегралу, выражающему действие или, что то же, к разысканию условия, что варьяция подынтегральной функции есть точный дифференциал, соединив с этой варьяциею посредством неопределенного множителя условное уравнение, происходящее от варьяции живой силы, то получаются уравнения, отличающиеся от уравнений динамики. [3]
Остроградского) состоит в следующем: варьяция 5 ( Т dt) есть точный дифференциал; но ТУ - 6), следовательно, д ( V dt) - - d ( 6dt) или, по причине 0 - Л, d ( V dt) - dd ( ht) также есть точный дифференциал; но d д ( М), очевидно, интегрируется, а потому б ( V dt) будет также интегрируема. [4]
Утверждение, что это уравнение имеет место для всех возможных варьяций, не является совершенно точным, так как уравнения связей должны быть всегда удовлетворены. [5]
Относя интегрирование ко времени и изменяя предел интеграла, можно получить самое общее выражение варьяции действия и вывести из него как частный случай Лагранжа начало наименьшего действия. Помощью того же выражения, не прибегая к приему Родрига, легко доказать, что в начале наименьшего действия содержатся все уравнения динамики, и получить эти уравнения под каноническим видом. [6]
Остроградский) при этом варьяции координат или главных переменных, заменяющих координаты, обусловливаются уравнением, происходящим от варьяции уравнения живой силы; между тем как для вывода изопериметрических уравнений, содержащих в себе уравнения динамики, необходимо рассматривать эти варьяции как величины совершенно независимые. После того Остроградский в подтверждение своего мнения показывает, что если приложим общий способ разыскания относительных max или min к интегралу, выражающему действие или, что то же, к разысканию условия, что варьяция подынтегральной функции есть точный дифференциал, соединив с этой варьяциею посредством неопределенного множителя условное уравнение, происходящее от варьяции живой силы, то получаются уравнения, отличающиеся от уравнений динамики. [7]
Остроградский) при этом варьяции координат или главных переменных, заменяющих координаты, обусловливаются уравнением, происходящим от варьяции уравнения живой силы; между тем как для вывода изопериметрических уравнений, содержащих в себе уравнения динамики, необходимо рассматривать эти варьяции как величины совершенно независимые. После того Остроградский в подтверждение своего мнения показывает, что если приложим общий способ разыскания относительных max или min к интегралу, выражающему действие или, что то же, к разысканию условия, что варьяция подынтегральной функции есть точный дифференциал, соединив с этой варьяциею посредством неопределенного множителя условное уравнение, происходящее от варьяции живой силы, то получаются уравнения, отличающиеся от уравнений динамики. [8]
После этих предварительных понятий о варьяциях, известных, впрочем, из начал варьяционного исчисления, предложим себе найти варьяцию интеграла, называемого действием. [9]
После этих предварительных понятий о варьяциях, известных, впрочем, из начал варьяционного исчисления, предложим себе найти варьяцию интеграла, называемого действием. [10]
Остроградский) при этом варьяции координат или главных переменных, заменяющих координаты, обусловливаются уравнением, происходящим от варьяции уравнения живой силы; между тем как для вывода изопериметрических уравнений, содержащих в себе уравнения динамики, необходимо рассматривать эти варьяции как величины совершенно независимые. После того Остроградский в подтверждение своего мнения показывает, что если приложим общий способ разыскания относительных max или min к интегралу, выражающему действие или, что то же, к разысканию условия, что варьяция подынтегральной функции есть точный дифференциал, соединив с этой варьяциею посредством неопределенного множителя условное уравнение, происходящее от варьяции живой силы, то получаются уравнения, отличающиеся от уравнений динамики. [11]
Остроградский) при этом варьяции координат или главных переменных, заменяющих координаты, обусловливаются уравнением, происходящим от варьяции уравнения живой силы; между тем как для вывода изопериметрических уравнений, содержащих в себе уравнения динамики, необходимо рассматривать эти варьяции как величины совершенно независимые. После того Остроградский в подтверждение своего мнения показывает, что если приложим общий способ разыскания относительных max или min к интегралу, выражающему действие или, что то же, к разысканию условия, что варьяция подынтегральной функции есть точный дифференциал, соединив с этой варьяциею посредством неопределенного множителя условное уравнение, происходящее от варьяции живой силы, то получаются уравнения, отличающиеся от уравнений динамики. [12]
Лагранж заключает, что начало наименьшего действия дает общее уравнение динамики, выражающее равновесие потерянных сил. Неполнота лагранжева доказательства, состоящая в том, что он не выводит на самом деле уравнений динамики, была, как кажется, главным поводом к недоразумению, в которое впал Остроградский. Подводя лагранжев вопрос об отыскании условий, при котором варьяция действия равна нулю, под свой взгляд, по которому требуются условия интегрируемости выражения д ( Т dt), где Т есть сумма произведений масс на квадраты скоростей ( по нынешним понятиям двойная живая сила), Остроградский ( стр. [13]
Варьяции дх в таком только случае будут связаны между собою уравнение ( а), когда ddt 0; но этого Лагранж не предполагает, что ясно видно из формулы, находящейся в конце стр. Лагранж в самом начале своего доказательства б J заменяет J б и через то предполагает, что пределы интеграла остаются без варьяции; следовательно, он мысленно относит интегрирование к такой переменной, варьяция которой равна нулю как для пределов интеграла, так и для промежуточных значений. Эта переменная не есть время, потому что d dt не равен нулю; но можно для нее взять одну из координат, как делает Якоби, или некоторую определенную функцию главных переменных, заменяющих координаты. Вследствие этого варьяции этих переменных будут связаны линейным уравнением, помощью которого можно исключить из момента потерянных сил, находящегося под знаком интеграла в результате Лагранжа, одну варьяцию, после чего мы вправе будем приравнять нулю коэффициенты у остальных варьяции; от этого получатся уравнения, число которых будет одним меньше числа всех уравнений динамики; но это недостающее уравнение дополняется уравнением живых сил. То же заключение относится и к результату, получаемому Якоби ( Vorlesungen uber Dynamik, стр. Якоби для большей легкости исключает дифференциал времени под знаком интеграла, выражающего действие, помощью уравнения живой силы и относит интегрирование к одной из координат. Такое преобразование интеграла, выражающего действие, было доказано Лиувил-лем) прежде появления в свет лекций Якоби о динамике. [14]
Когда потенциал U способен иметь значение maxim. С / х - U будет то, что Rankin ( Ранкин) называет потенциальною энергиею, а Е Т Пг - U ( сумма активной энергии Т с потенциальною) - полною энергиею. Так как Шг 0, то 6E dh, и уравнение ( 17) дает 5А ( / 2 - / х) & Е, т.е. варьяция действия равна времени движения на варъяцию полной энергии. [15]