Cтраница 1
Процедура последовательного решения такого вида с постоянными А и В, А 1 В, при которой выбор продолжается в случае выполнения соотношения ( 11), называется последовательным критерием отношения вероятностей. Процедуры этого типа исторически были первыми методами в последовательном анализе. [1]
При процедуре последовательного решения, как мы уже отмечали, общее число наблюдений N до принятия некоторого решения из D является случайной величиной. Ясно, что процедура, требующая проведения фиксированного числа наблюдений п, соответствует выборочному плану, для которого множество N ] пусто при 71, , п - 1и N п Sn. Вообще говоря, мы будем рассматривать только те выборочные планы, для которых с вероятностью 1 выбор в конце концов будет прекращен. [2]
Вторая компонента процедуры последовательного решения может быть названа решающим правилом. Хп хп, после которых выбор прекращается. [3]
Такое ограничение класса процедур последовательного решения представляется естественным, поскольку стоимость бесконечной последовательности наблюдений должна рассматриваться как бесконечная. [4]
В классе всех процедур последовательного решения, требующих не более п наблюдений, оптимальная процедура имеет следующий вид. I), то решение из D принимается без дальнейших наблюдений. [5]
Множество Е задает байесовскую процедуру последовательного решения. Точные формулы известны лишь в нескольких специальных случаях, но в следующих двух параграфах будут даны полезные приближенные формулы для общего случая. [6]
Последовательная решающая функция, или процедура последовательного решения, состоит из двух компонент. Одна компонента называется выборочным планом, или правилом остановки. Здесь статистик прежде всего заключает, принять какое-нибудь решение из D, вообще не делая наблюдений, или же есть смысл провести хотя бы одно наблюдение. [7]
Это требование вызвано тем, что при записи в строку сразу задается процедура последовательного решения, характерная для ЭВМ. [8]
При использовании метода индукции назад, который будет применен в следующем параграфе для отыскания оптимальной ограниченной процедуры последовательного решения, рассмотрение начинается с последнего шага и затем доводится до момента начала наблюдений. Неформально очень просто объяснить, как применяется этот метод. [9]
На каждом шаге процесса выбора в конкретной задаче статистик, как правило, может вычислить риск р ( ф, б) лишь для некоторых процедур последовательного решения б специального вида. Например, он может быть в состоянии вычислить риск процедур с фиксированным числом наблюдений и последующим принятием решения из D. Или же ему может быть известен риск р ( ф, б) одной процедуры б, при которой проводится ровно одно наблюдение и затем выбирается решение из. Обозначим в данной задаче через А0 класс всех процедур б, риск которых р ( ф, б) статистик в состоянии вычислить. Тогда следующее наблюдение проводится только в том случае, когда это следует делать согласно оптимальной процедуре. С другой стороны, выбор может закончиться раньше, чем его следовало бы закончить в соответствии с оптимальной процедурой. [10]
Если статистик должен провести фиксированное число наблюдений, которое надо указать до начала выбора, то оптимальное число наблюдений п можно приближенно найти из соотношения ( 10) § 11.9. В рассматриваемом примере общий риск можно уменьшить, используя процедуру последовательного решения. Однако, как мы сейчас увидим, вычисление даже лишь р2 уже весьма трудоемко и получить явное выражение для оптимальной процедуры последовательного решения представляется невозможным. [11]
Функция б, заданная на пространстве S всех бесконечных последовательностей и удовлетворяющая указанным свойствам, называется моментом остановки. Если б - процедура последовательного решения из класса А, то с вероятностью 1 выбор рано или поздно окончится. Обратно, всякий момент остановки б с конечными, за возможным исключением события нулевой вероятности, значениями определяет процедуру последовательного решения из класса А. Таким образом, процедуры последовательного решения эквивалентны моментам остановки. [12]
D после окончания наблюдений используется только байесовское решение, отвечающее апостериорному распределению параметра W. Поэтому далее при рассмотрении процедур последовательного решения мы не будем явно указывать решающее правило. [13]
Поэтому мы будем обозначать через б и процедуру последовательного решения, и случайное число наблюдений, проводимых согласно этой процедуре. [14]
Приближение для оптимального объема выборки п в этом примере было найдено в упр. Таким образом, процедура, в которой проводится ровно га наблюдений, является оптимальной в классе всех процедур последовательного решения. Конечно, если значение п превосходит максимально возможное число наблюдений га, то надо проводить га наблюдений. Точное выражение для оптимального числа наблюдений в этом примере указано в упр. [15]