Cтраница 3
В рассматриваемом случае процесс исключения циклов происходит до тех пор, пока параметр k не станет равным единице. Из этого условия определяется верхнее значение х переменной х, до которого необходимо продолжать исключение циклов, чтобы прийти к процессу с простой структурой. [31]
Блок-схема программы для процесса исключения неизвестных приведена на рис. 8.5. Эта блок-схема точно соответствует разобранному выше алгебраическому процессу с двумя принципиальными различиями. Мы увидим, что ошибки округления могут быть существенно уменьшены, если следовать определенным правилам перестановки уравнений. [32]
Если же в процессе исключения ( сохраняющем симметричность) требовались перестановки строк и столбцов, то те же рассуждения нужно применить к матрице РЛРТ. [33]
Но так как этот процесс исключения может оказаться затруднительным, то представляется целесообразным его избежать, пользуясь методом множителей, изложенным нами в предыдущем параграфе. [34]
Полезно заметить, что процесс исключения неизвестных не изменяет абсолютной величины определителя системы, хотя знак определителя и изменяется при каждой перестановке уравнений. [35]
Этот факт устанавливается посредством процесса исключения. Если ранг матрицы А равен k, то свободных переменных не будет, нуль-пространство будет содержать только нулевой вектор и, следовательно, векторы будут линейно независимы. [36]
Вспомним, что перед началом процесса исключения очередного неизвестного может понадобиться переставить уравнения в системе, чтобы избежать деления на нуль. Обычно приходится делать несколько таких перестановок. [37]
С помощью данных преобразований строго описывается процесс исключения из схемы цепи зависимых ветвей, узлов и контуров, т.е. тех из них, решения для которых тривиально определяются исходя из элементов получаемой сокращенной расчетной схемы. Речь идет, в частности, о широко используемых при расчетах потокораспределения приемах суммирования коэффициентов сопротивления ветвей, соединенных последовательно, и проводимостей ветвей, соединенных параллельно. [38]
В результате нашего описания каждого шага процесса исключения могло сложиться впечатление, что в другом порядке осуществлять вычисления невозможно. Некоторая свобода действий существует и имеется алгоритм Кроута, который осуществляет вычисления в несколько другом порядке. Конечно, это не абсолютная свобода, так как операции, проводимые со строками, легко могут уничтожить на некотором шаге нули, которые были получены на одном из предыдущих шагов. [39]
Ранее в этой книге ( в процессе исключения и задачах на собственные значения) основное внимание уделялось элементарным операциям, которые делают исходную матрицу проще. В каждом из этих случаев самым важным для нас было знать, какие свойства матрицы остаются неизменными. Когда кратное одной строки вычиталось из другой, список таких инвариантов был достаточно большим: нуль-пространство, пространство строк, ранг и определитель матрицы оставались теми же самыми. [40]
Обращаем внимание читателя, что в процессе исключения функций у и z мы выражаем их через функцию х и ее производные. Найдя общее решение полученного дифференциального уравнения высшего порядка, мы получим выражение для функции х, зависящее от трех произвольных постоянных. Остальные неизвестные функции ( у и z) находятся уже не при помощи интегрирования, а из их выражений через найденную функцию. Таким образом, общее число произвольных постоянных не увеличится и будет равно порядку системы. [41]
Поскольку реализуемая вычислительная процедура есть по существу процесс исключения, то в основу анализа ошибок положен анализ ошибок процедуры исключения. [42]
Теперь упомянутое соображение формулируется следующим образом: процесс исключения можно осуществлять для матрицы РА, строки которой располагаются в нужном порядке заранее. При этом ведущие элементы оказываются теми же самыми, которые получались, когда перестановки проводились по мере необходимости в ходе самого процесса исключения. Другими словами, матрица РА имеет обычное LU - ( или / О ( У -) разложение с ненулевыми ведущими элементами. Имеется лишь одно небольшое изменение, связанное с предварительным проведением всех перестановок. Предположим, что кратное первой строки вычитается из второй, а затем для получения ненулевого ведущего элемента вторая и третья строки переставляются. Тогда для случая матрицы РА, поскольку вторая и третья строки переставлены у нее заранее, кратное первой строки уже будет вычитаться из третьей строки. [43]
Разумеется, существует ряд других важных особенностей процесса исключения, которые на приведенном выше простом примере обнаружить нельзя. [44]
На последней странице программы приведены операторы, завершающие процесс исключения переменных и вычисляющие значения неизвестных путем обратной подстановки. [45]