Cтраница 2
С точностью до константы, которую можно устранить масштабным преобразованием, оно совпадает с уравнением (4.3.20), описывающим вероятность перехода для процесса Орнштейна - Уленбека. [16]
Если Л 0, то стационарное решение (8.1.4) гауссово. Действительно, в этом случае с помощью сдвига и изменения масштаба переменной у уравнение (8.1.5) можно свести к (4.3.20) и таким образом прийти к выводу, что стационарный марковский процесс, определяемый линейным уравнением Фоккера - Планка, является процессом Орнштейна - Уленбека. При А § стационарного распределения вероятности не существует. [17]
Так называемый процесс Орнштейна - Уленбека Xt удовлетворяет уравнению (2.113), если - гауссовский белый шум. Пока мы еще не располагаем всем необходимым математическим аппаратом, чтобы установить этот факт на доказательном уровне, и вернемся к затронутой нами проблеме в гл. По определению процесс Орнштейна - Уленбека ( процесс ОУ), как и винеровский процесс, является гауссовским. Процесс ОУ разделяет с винеровским процессом еще одно общее свойство: его траектории также почти наверное непрерывны. Процесс ОУ отличается от винеровского процесса двумя важными особенностями. [18]
Более того, мгновенная скорость бесконечна, так как траектории винеров-ского процесса Wt нигде не дифференцируемы. Рассмотренный этими авторами случайный процесс получил название процесса Орнштейна - Уленбека. Положение броуновской частицы в модели Орнштейна - Уленбека определяется путем интегрирования, а не задано непосредственно, как в ви-неровском процессе. [19]
Автор книги по личным воспоминаниям может засвидетельствовать следующее. Когда речь шла о гауссовском марковском стационарном процессе ( который в данной книге называется процессом Орнштейна - Уленбека для скорости броуновской частицы, см. конец первой части), А. Н.Колмогоров упомянул о колебаниях уровня Каспийского моря примерно следующим образом. [20]
Действительно, этот случай является хорошим приближением для большого класса реальных систем. В последующем, на внешний шум будет налагаться слабое ограничение, состоящее в том, что он должен быть марковским. Необходимо признать, что это не самый общий случай реального шума, однако можно ожидать, что он соответствует тем ситуациям, которые встречаются в приложениях по следующим двум причинам: 1) как мы увидим несколько позже, в этом случае реализации являются дифференцируемыми функциями; 2) система является немарковской и скоррелированной с окружением. Следовательно, существенные черты реальных систем можно удовлетворительно учесть, если модели флуктуирующей среды выбрать из класса марковских стохастических процессов. При этом мы убиваем двух зайцев сразу. Такой выбор позволяет по-прежнему работать в рамках теории марковских процессов и, таким образом, преодолеть первую трудность. Что же касается модели шума, то, как мы увидим, наш выбор радикально ограничивает возможности, оставляя в большинстве ситуаций лишь процесс Орнштейна - Улен-бека в качестве подходящей модели. [21]