Cтраница 1
Введение иррациональных чисел не является последним этапом в расширении понятия числа. Дальше вводятся еще так называемые комплексные числа, после введения которых действие извлечения квадратного корня из отрицательного числа оказывается осуществимым. После введения комплексных чисел мы будем вправе считать, что и в случае отрицательного дискриминанта квадратное уравнение имеет корни, но эти корни не являются действительными числами. [1]
При введении иррациональных чисел мы использовали в частном случае теорему: квадрат нецелого рационального числа не есть целое число. [2]
К необходимости введения иррациональных чисел мы приходим не только в связи с извлечением корня. [3]
В этом смысле введение иррациональных чисел совершенно аналогично введению дробных чисел в дополнение к ранее изученным целым. Ведь и в арифметике дробные числа появляются из потребности измерения величин, допускающих дробление на равные части. [4]
Существуют различные способы введения иррациональных чисел. [5]
Это заполнение достигается введением иррациональных чисел. [6]
Существуют - различные способы введения иррациональных чисел. [7]
Положение, создающееся при введении иррационального числа тг, очень похоже на то, которое мы только что описали. [8]
Вместе с тем и в пределах самой алгебры введение иррациональных чисел вносит общность и простоту. [9]
В основе такого подхода, как уже упоминалось в связи с введением иррациональных чисел, лежит понятие предела числовой последовательности для модели времени, предела последовательности точек в трехмерном пространстве для модели пространства. К каждому моменту времени можно сколь угодно близко подойти по другим моментам времени, к каждой точке пространства - по другим точкам пространства. [10]
Напомним, что не всякая фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к рациональному числу, и это приводит к необходимости расширения запаса чисел и введению иррациональных чисел. Аналогично не всякая слабо фундаментальная последовательность интегрируемых функций сходится слабо к интегрируемой функции, и это приводит к необходимости расширения запаса функций и введению так называемых обобщенных функций. [11]
Так же, как и предшествующие расширения понятия числа ( переход от натуральных чисел к любым рациональным положительным числам, целым и дробным; введение отрицательных чисел), введение иррациональных чисел расширяет возможности приложений математики. Следует отметить, что могущественные методы так называемой высшей математики, изучающей прежде всего переменные величины, изменяющиеся непрерывно, не могут быть обоснованы без пользования всеми действительными числами. [12]
Если метрическое пространство не полно, то его можно сделать полным путем введения некоторых новых элементов с помощью фундаментальных последовательностей. Эта операция аналогична введению иррациональных чисел по Кантору. [13]
К необходимости введения иррациональных чисел мы приходим не только в связи с извлечением корня. К необходимости введения иррациональных чисел мы приходим и во многих других задачах, никак не связанных с извлечением корней. [14]
Булевская алгебра событий может оказаться неполной в том смысле, что счетная сумма ее элементов не всегда существует. Но тогда ее можно пополнить, причем пополнение определяется однозначно. Эта операция столь же естественная, как введение иррациональных чисел. [15]