Cтраница 2
Значение весьма общей и важной теоремы Вейерштрасса - преимущественно теоретическое. Хотя с точки зрения аппроксимации целые многочлены и являются единственным классом функций, которым можно вполне обойтись, но было бы крайне непрактично не использовать самым широким образом все алгебраические и трансцендентные функции. Только введением этих функций обеспечивается необходимая простота и свобода движения в анализе, подобно тому как введением иррациональных чисел создается необходимая простая основа для действий анализа, хотя рациональные числа и дают в каждом случае сколь угодно точные приближения. [16]
Впрочем, известные ожидания были бы естественны. В самом деле, если появление дробей сделало возможным деление всякого числа на любое другое ( кроме нуля) число и обнаружило необходимость введения иррациональных чисел, а появление последних открыло дорогу понятиям предела, производной и интеграла, то почему бы в таком случае и числу г не внести свою лепту в развитие математики. [17]
То расширение числового множества, которое нами сейчас предпринято, является, как известно, далеко не первым в истории развития понятия числа. Все мы, обучаясь арифметике, знакомимся сначала с натуральными числами, потом присоединяем к ним число нуль, отрицательные числа и дробные числа. Таким образом, в результате ряда последовательных расширений создается множество рациональных чисел. Наш принцип порождения присоединяет к нему сразу все иррациональные числа и тем самым расширяет его до множества всех вещественных чисел - до континуума. Хорошо известно, что все прежние расширения в значительной степени стимулировались желанием сделать неограниченно выполнимым какое-либо действие, которое в старой области не всегда могло быть выполнено. Так, введение нуля и отрицательных целых чисел позволило сделать неограниченно выполнимым действие вычитания; введение дробей сделало то же самое по отношению к делению ( за исключением деления на нуль, которое, кстати сказать, и в нашей новой области вещественных чисел остается невозможным); первые попытки введения иррациональных чисел были продиктованы стремлением сделать всегда выполнимым извлечение корней. Эта тенденция - добиваться возможно широкой выполнимости таких действий, которые в данной числовой области оказываются не всегда выполнимыми - обусловлена в математике, разумеется, не абстрактным влечением к формальной законченности ( как это иногда думают), а настоятельными запросами практики; лучше всего нас убеждают в этом примеры, подобные приведенным в начале этой главы: именно практическая деятельность наша не может удовлетвориться таким запасом чисел, где длина диагонали квадрата со стороной 1 или площадь круга радиуса 1 не находят себе числового выражения. [18]