Cтраница 2
Введение иррациональных чисел не является последним этапом в расширении понятия числа. Дальше вводятся еще так называемые комплексные числа, после введения которых действие извлечения квадратного корня из отрицательного числа оказывается осуществимым. После введения комплексных чисел мы будем вправе считать, что и в случае отрицательного дискриминанта квадратное уравнение имеет корни, но эти корни не являются действительными числами. [16]
Целые числа содержали натуральные, в множество рациональных чисел входили целые, множество действительных чисел содержало все рациональные числа. При введении комплексных чисел это условие также должно соблюдаться. Множество комплексных чисел должно включать в себя каждое действительное число. [17]
Спинорная алгебра шире, имеет более богатую структуру и упрощает многие геометрические рассуждения. Здесь видна аналогия с введением комплексных чисел как поля более широкого и богатого, чем поле вещественных чисел. Эти расслоения глобально тривиальны, а соответствующие расслоения над М и М уже нетривиальны, однако мы не хотим сейчас их вводить, поскольку в этой статье они нам не понадобятся. [18]
Здесь нигде не встречаются логические неясности или философские трудности. Гораздо более серьезные трудности уготовляет наша исходная система - система натуральных чисел и иррациональное, переход от рациональных чисел к континууму чисел вещественных. Но если только удается достигнуть этой стадии, то на дальнейшем пути к комплексным и гиперкомплексным числам не встречается уже никаких преград. Для введения комплексных чисел нужно лишь указать, как определяется каждое такое число и как с ними действовать. [19]
Мы должны поэтому ввести пространство С векторов с п комплексными компонентами. Сложение и умножение в этом пространстве осуществляются по тем же правилам, что и ранее. Это изменение в способе вычисления длины вызывает целый ряд других изменений. Скалярное произведение двух векторов, транспонированная матрица, определения симметрических, кососимметричьских и ортогональных матриц при введении комплексных чисел нужно модифицировать. [20]
Постепенное расширение области чисел от системы натуральных до совокупности всех действительных чисел было вызвано потребностью устранить случаи возможных исключений из общих математических законов и сделать выполнимыми во всех случаях без исключения известные операции, как, например, деление, вычитание, установление соответствия между числами и отрезками. Подобно этому к введению комплексных чисел вынудило требование, чтобы всякому квадратному уравнению и даже всякому алгебраическому уравнению можно было приписать известное решение. [21]
Современный преподаватель старших классов, разумеется, знаком с элементами теории комплексных чисел и не только из педвузовского курса математики, но и в связи с тем, что в течение ряда лет в прошлом комплексные числа были разделом школьной программы по математике. Однако сейчас комплексные числа в программу не входят. Это связано, во-первых, с тем, что в условиях всеобщего среднего образования был произведен очень тщательный отбор материала школьной программы ( к тому же имеются более важные вопросы, чем такая изысканная тема, как комплексные числа, - например, первоначальные сведения о вероятностях), а во-вторых, с тем, что в связи с введением исключительно важного в современных условиях курса основ информатики и вычислительной техники программа по математике подверглась уплотнению. Тем не менее современный школьный курс математики очень удобен для увязки с комплексными числами и, возможно, в будущем эта тема вновь обретет свое место. Однако речь должна идти не о маленьком довеске к курсу алгебры, а о серьезной увязке с несколькими темами школьной программы, без чего введение этой темы бессмысленно. Прежде всего следует отметить, что введение векторов в восьмом классе делает очень удобным введение комплексных чисел в алгебраической форме. [22]
На второй вопрос мы ответим немедленно, нами будет потеряно отношение порядка; так что мы окажемся довольно далеки от - числа - меры. Что касается первого вопроса, то историческое введение показывает, как это новое понятие утвердилось. Основными же являются их приложения в анализе. Так, мы можем указать на основную теорему алгебры, которая, даже взятая в отдельности, дает достаточное оправдание введению комплексных чисел. [23]