Cтраница 2
Если следовать этой идее несколько дальше, мы придем к заключению, что рассмотренный квадратурный процесс может быть применен не только к вычислению собственных значений, но также и к действительному решению дифференциальных уравнений. [16]
Более того, неравенство ( 18) полностью решает вопрос о скорости сходимости квадратурного процесса для различных классов функций, определенных на конечном сегменте. В самом деле, для наилучших приближений En ( f) получены исчерпывающие характеристики скорости убывания к нулю, причем указаны не только порядки, но во многих случаях и точные постоянные в соответствующих неравенствах [ III. Простейшие из этих неравенств приведены в гл. [17]
Дополнительно заметим, что в условиях теоремы 10 верным является более сильный результат: квадратурный процесс наивысшей степени точности сходится для всякой функции, интегрируемой на [ а, Ь ] в смысла Римана. [18]
Если матрица (1.4) узлов интерполяционного процесса имеет функцию Чебышева своей предельной функцией распределения и если функция f является аналитической на [ а, Ь ], тогда интерполяционный квадратурный процесс ( 9) сходится к точному значению интеграла. [19]
Для всякой непрерывной на конечном сегменте [ а, Ь ] функции / ( ж) последовательность ее наилучших равномерных приближений En ( f) сходится к нулю. Поэтому из неравенства ( 18) следует, что квадратурный процесс типа Гаусса для непрерывной функции сходится. [20]
Поэтому, если все cl - положительны, то и второе условие теоремы будет выполнено. Поэтому квадратурный процесс по формулам Гаусса всегда сходится. [21]
В предыдущем пункте были сформулированы некоторые теоремы о сходимости общего квадратурного процесса. Проследим сейчас, как упрощаются эти теоремы для интерполяционных квадратур. Здесь дело заключается в том, что первым условием в указанных теоремах было требование сходимости квадратурного процесса для всяких многочленов. Для интерполяционных квадратурных процессов это требование может быть опущено, так как оно всегда выполняется. Поэтому, если интегрируемая функция f есть многочлен некоторой степени т, то при всяких п m в интерполяционном квадратурном процессе всегда будет получаться точное значение вычисляемого интеграла, и процесс будет, очевидно, сходящимся. [22]
В предыдущем пункте были сформулированы некоторые теоремы о сходимости общего квадратурного процесса. Проследим сейчас, как упрощаются эти теоремы для интерполяционных квадратур. Здесь дело заключается в том, что первым условием в указанных теоремах было требование сходимости квадратурного процесса для всяких многочленов. Для интерполяционных квадратурных процессов это требование может быть опущено, так как оно всегда выполняется. Поэтому, если интегрируемая функция f есть многочлен некоторой степени т, то при всяких п m в интерполяционном квадратурном процессе всегда будет получаться точное значение вычисляемого интеграла, и процесс будет, очевидно, сходящимся. [23]
В предыдущем пункте были сформулированы некоторые теоремы о сходимости общего квадратурного процесса. Проследим сейчас, как упрощаются эти теоремы для интерполяционных квадратур. Здесь дело заключается в том, что первым условием в указанных теоремах было требование сходимости квадратурного процесса для всяких многочленов. Для интерполяционных квадратурных процессов это требование может быть опущено, так как оно всегда выполняется. Поэтому, если интегрируемая функция f есть многочлен некоторой степени т, то при всяких п m в интерполяционном квадратурном процессе всегда будет получаться точное значение вычисляемого интеграла, и процесс будет, очевидно, сходящимся. [24]