Cтраница 1
Строго марковские процессы, Теория вероятн. [1]
Одномерные непрерывные строго марковские процессы, Теория вероятн. [2]
Ру уеу х образует строго марковский процесс. [3]
Соотношение ( 13) для строго марковских процессов может быть обобщено следующим образом. [4]
Таким образом, стохастическое дифференциальное уравнение определяет некоторый строго марковский процесс. Этот процесс называется диффузионным случайным процессом. [5]
Если с вероятностью 1 рассматриваемый случайный процесс ( 0 непрерывен справа, то он является строго марковским процессом. [6]
Наша цель - доказать, что если процесс X имеет исключительные дефекты, то при подходящем определении семейства мер Ру все модифицированные стандартные части процесса X суть строго марковские процессы. [7]
Теперь, собрав вместе результаты двух предыдущих параграфов, мы получим условия на гиперконечные формы Дирихле, гарантирующие, что все модифицированные стандартные части соответствующих марковских цепей будут строго марковскими процессами. Метод прост: мы просто используем взаимоотношения между формами и процессами, полученные в пп. [8]
Стационарного распределения найдено А. Н. Колмогоровым [1]: для этого необходимо и достаточно, чтобы нашелся такой класс сообщающихся состояний YcX, что математнч. Этот критерий обобщается на строго марковские процессы с произвольным фазовым пространством X: для существования стационарного процесса достаточно, чтобы существовал компакт А сХ такой, что математпч. [9]
Чтобы доказать, что стандартная часть процесса X является строго марковским процессом, покажем, что в качестве множества дефектов процесса X можно взять пустое множество. В самом деле, поскольку для всех околостандартных Si e So процесс X с L ( Pi) - вероятностью единица S-непре-рывен, два первых условия определения 5.4.13, очевидно, выполнены. Далее, если st s /, то траектории, выходящие из s /, получаются из траекторий, выходящих из s /, с помощью бесконечна малого параллельного переноса. [10]
Пусть 50 - гиперконечное подмножество множества Y для некоторого локально компактного хаусдор-фова пространства У, удовлетворяющего второй аксиоме счетности. Если & - регулярная форма Дирихле на So, то найдется такое внутреннее множество 50, So cz 50 с So, что модифицированная стандартная часть соответствующего процесса % является строго марковским процессом. [11]
Но с дальнейшим развитием теории случайных процессов подобные теоретико-множественные трудности возникают вновь и вновь. В теории марковских процессов обычного марковского свойства оказывается недостаточно, и появляются строго марковские процессы. Наконец, если мы пожелаем рассмотреть число пересечений траекторией процесса некоторого уровня, то сначала надо доказать, что это число с вероятностью 1 конечно, а затем уже подсчитывать ( совершенно иным методом) его вероятностные характеристики, например математическое ожидание. [12]
Предположим, что So - гиперконечное подмножество множества Y для некоторого регулярного почти - компактного пространства У, удовлетворяющего второй аксиоме счетности. Пусть - нормальная форма Дирихле на So, разделяющая компакты, имеющая околостандартный носитель и порождающая квазинепрерывные продолжения. Тогда соответствующий гиперконечный марковский процесс имеет модифицированную стандартную часть, которая является строго марковским процессом. [13]
При этом подразумевается, что t является хотя и произвольным, но фиксированным моментом времени. Естественно было бы ожидать, что это свойство марковских процессов сохраняется и для случайных моментов времени, зависящих, вообще говоря, от предыстории процесса. Такими моментами являются, в частности, момент выхода процесса из некоторой области Q фазового пространства, TQ, момент т min ( TQ, t) IQ f) t, где t - фиксированный момент времени. Марковские процессы, обладающие указанным свойством, называются строго марковскими процессами, а рассматриваемые случайные моменты времени - марковскими моментами. Следует отметить, что произвольный марковский процесс не является, вообще говоря, строго марковским. Тем не менее класс строго марковских процессов черзвычайно широк. Во всяком случае многие встречающиеся в прикладных задачах процессы являются строго марковскими. [14]
В этом методе выборочные свойства Хт не принимаются в расчет. Здесь видна некоторая аналогия с противопоставлением методов интегрирования Римана и Лебега. Для применения этого метода необходимо соблюдение некоторых условий. Время т процесса Хт должно быть марковским, и применение метода ограничивается строго марковскими процессами. Согласно 38.4 в, ту является временем XT, если Хт выборочно непрерывен справа. Итак, начиная с этого места мы будем предполагать Хт строго марковским и выборочно непрерывным справа. [15]