Cтраница 2
Он говорит о человеке, изучавшем математику у Якоби, Дирихле и Штейнера: Мемуар весьма поучителен в том отношении, что указывает на опасность для физика не осознавать глубоко последовательность математического процесса. Поскольку рассматриваемый материал был чисто экспериментальным, приведенная цитата является в то же время еще одним примером ограниченного понимания Пирсоном экспериментальной механики. [16]
В комплексе понятий, относящихся к созданию прибора, наиболее общим является понятие проектирование. Его следует понимать как совокупность логических и математических процессов поиска, выбора и обоснования оптимального варианта принципа действия и конструкции разрабатываемого прибора. Оптимальный вариант прибора - это вариант, который наилучшим образом соответствует техническому заданию, современным научным и техническим достижениям, патентной чистоте и перспективам развития отрасли. [17]
Бернуллиева перколяция является, безусловно, математическим процессом. Хаммер-сли вводит ее в надежде, что с ее помощью можно будет проиллюстрировать и тем самым прояснить многие природные феномены. Исследователи Аи приготовили тонкие пленки при комнатной температуре посредством электронного напыления на окна из аморфного SiaN4 толщиной 30 нм, выращенные на кремниевой подложке. Пленкам была придана переменная толщина, в результате чего вместо одного образца получился целый ряд образцов - от полностью изолирующих до электропроводящих. [18]
Отброшенные члены ряда ( а их число бесконечно) вносят некоторую ошибку в результат вычислений. Эта ошибка называется ошибкой ограничения, так как она возникает в результате ограничения бесконечного математического процесса. [19]
За последние несколько лет вошло в обращение новое слово: численный анализ. Этот термин хорошо подходит для обозначения известных аспектов математического анализа, которые занимаются переводом математических процессов в операции над числами. Основным здесь является та легкость, с которой некоторые аналитические методы могут быть проведены при замещении математических величин явными числами; эта ветвь анализа изучает ошибки округления, обусловленные не приближенным характером парэктических процессов, а приближенным характером арифметических операций умножения и деления, когда мы ограничиваемся конечным числом десятичных знаков. [20]
Ошибки ограничения заслуживают подробного рассмотрения. В дальнейшем в связи с теми или иными численными методами они будут подробно анализироваться, и мы приведем формулы для оценки границ погрешностей, возникающих при ограничении бесконечных математических процессов. [21]
Хотя это направление и не отгорожено китайской стеной от прикладных и математических исследований ( так же как и теоретическая физика от технических наук), тем не менее главная его цель - построение принципов моделирования экономических объектов, создание фундамента, на котором будет построено здание адекватных и взаимно согласованных математических моделей экономических процессов, аналогичное зданию математических процессов физических явлений. [22]
В квантовой механике такой логической ( в классическом смысле) последовательности математических переходов не наблюдается. Основное уравнение квантовой механики представляет собой крупнейшее математическое открытие в области физики и математики. Это уравнение получается путем чисто абстрактного математического процесса, почти совершенно лишенного наглядного физического содержания. Но результат решения этого уравнения уже имеет ясный физический смысл. [23]
Хотя эта аксиома чрезвычайно важна, иногда, например, при тестировании математического программного обеспечения, приходится допускать исключения. Математическое программное обеспечение обладает тем свойством, что выходные данные являются только приближением правильного результата. Это происходит из-за использования конечных вычислительных процессов вместо бесконечных математических процессов, из-за ошибок округления, связанных с конечной точностью машинной арифметики и неточного представления чисел в двоичной машине, а также ошибок из-за конечной точности представления входных данных и констант. Поэтому во многих случаях оказывается важной не абсолютная точность, а корреляция ошибок. Например, когда математическая программа возвращает массив чисел, может оказаться важным, чтобы вычисленное решение было точным решением для набора входных данных, аппроксимирующего реальные входные данные. Поэтому при тестировании математического программного обеспечения прогнозирование точных выходных данных затруднительно. Детальное обсуждение этих проблем выходит за рамки данной книги. [24]
Однако мы познакомимся со множеством алгоритмов, некоторые из которых представлены в форме псевдокода, а другие оформлены как математические теоремы. Доказательство истинности теорем - необходимая и далеко нетривиальная часть математического процесса. Аналогично необходимо проверять корректность написанного на псевдокоде алгоритма. Например, откуда мы можем знать, что алгоритм из примера 1.2.5 действительно дает минимальную сеть дорог. [25]
Несмотря на важность этого положения, имеется ряд случаев ( например, контроль математических программ), когда необходимы некоторые отступления от этого правила. Характерным для математических программ является то, что результаты их выполнения часто являются приближенными. Эти приближенные результаты появляются по разным причинам: использование конечного числа вычислений вместо бесконечного математического процесса, ошибка округления из-за ограниченной точности вычислений машины, передаваемые ошибки из-за ограниченной точности вводимой информации. В некоторых случаях корреляция ошибок достигает значительной величины. Таким образом, при контроле математических программ предска зывать результаты выполняемых тестов часто бывает достаточно трудно. [26]
Много размышляя о соотношении математического и логического, Вейль сдержанно относился к возможностям ( формальной, математической) логики. Ни о каком ее приоритете по отношению к математике и другим наукам, с его точки зрения, не может быть и речи. Отметив, что это определение принималось десятилетиями, Вейль заключил: Мне кажется, что оно содержит весьма скудную информацию относительно подлинной природы математики ( с. Ибо она, эта природа, имеет исходным пунктом то, что Вейль называл математическим процессом: итерацию и базирующуюся на ней совершенную ( полную математическую) индукцию, служащую как определению объектов, так и доказательству утверждений о них. В частности, наглядные представления об итерации и порождаемом с ее помощью натуральном ряде необходимы для построения основных понятий теории множеств и развертывания логических формализмов. При этом значимость как формальных, так и особенно содержательных - осмысляющих, осмысленных - рассмотрений логического характера для математики и математического естествознания отнюдь не отвергается: рассмотрения эти трактуются Вейлем как необходимое ( но достаточно скромное) орудие развития математики и наук о природе. [27]
Каждое из отдельных пустых мест некоторого отношения ( как первичного, так и производного) относятся к определенной категории предметов так, что для восполнения соответствующего пустого места осмысленным образом может использоваться лишь один предмет данной категории. Из первичных свойств и отношений получаются производные, и каждому первичному или производному субъект-но упорядоченному отношению в силу описанного den математического процесса соответствует одномерное или многомерное множество. Категория, которой принадлежит такое множество, определяется числом пустых мест в том отношении, из которого оно возникло, и категориями предметов, которым соответствуют пустые места в установленной последовательности. [28]