Cтраница 1
Расширенная числовая прямая компактна. [1]
Расширенная числовая прямая, есть связное локально связное пространство. [2]
Расширенной числовой прямой называется множество R, наделенное структурой порядка и топологией, определенными указанным образом. [3]
Последовательность точек расширенной числовой прямой может иметь на этой прямой только один предел. [4]
Промежутки всех типов расширенной числовой прямой обладают следующим свойством: если точки а. [5]
R пополняется до компактной расширенной числовой прямой R, гомеоморфной отрезку. [6]
У любых двух различных точек расширенной числовой прямой существуют их непересекающиеся окрестности. [7]
В рассуждениях, относящихся к расширенной числовой прямой К, часто бывает удобно, доиуская вольность речи, называть и ее точки вещественными числами, точки из R ( которым это наименование было присвоено прежде) называются тогда конечными вещественными числами. Мы примем это соглашение в настоящем параграфе и трех следующих, всякий раз, принимая его в последующем, мы будем точно указывать, на какую часть текста оно распространяется. [8]
Важным понятием для дальнейшего является понятие е-окрест-ности точки расширенной числовой прямой. [9]
Конечной снизу назовем функцию, значения которой лежат в расширенной числовой прямой и которая, с одной стороны, не равна тождественно Н - оо, а с другой - никогда не принимает значение - оо. Тогда число / ( z0) равно верхней грани значений в точке г таких линейных функций, которые нигде не превосходят функцию /, так как, согласно определению выпуклости ( определение II), каждая конечная выпуклая функция имеет в точке z0 такое же значение, как и некоторая линейная функция, нигде ее не превосходящая. [10]
Элементы оо и - со называются иногда бесконечно удаленными точками расширенной числовой прямой. [11]
Пусть ср - измеримая в смысле Бореля функция, заданная на расширенной числовой прямой и принимающая конечные или бесконечные действительные значения, причем 9 ( 0) О, a f - измеримая функция на каком-нибудь измеримом пространстве X, принимающая конечные или бесконечные действительные значения. [12]
Отметим, что нас в основном интересуют числовые последовательностям Последовательности же точек расширенной числовой прямой введены прежде всего для большей компактности изложения: они позволяют не рассматривать отдельно случаи конечных и бесконечных определенного знака пределов последовательностей. Исходя из основных целей, в дальнейшем определения и утверждения будут в основном формулироваться для числовых последовательностей, хотя многие из них безо всякого труда обобщаются на случай последовательностей точек расширенной числовой прямой. [13]
Заметим, что в некоторых случаях приходится рассматривать случайные элементы со значениями из расширенной числовой прямой - [ - оо, - - Ь Такие случайные элементы называют обобщенными случайными величинами. [14]
Поскольку эксцессивная функция может принимать значение оо, то непрерывность определяется в топологии расширенной числовой прямой. [15]