Cтраница 2
Все рассматриваемые в этом параграфе функции определены на некоторой фиксированной проколотой окрестности U ( х0) точки х0 расширенной числовой прямой: х0 е R, причем эта окрестность может быть и односторонней. [16]
Ясно, что эта топология - хаусдорфова и индуцирует на R топологию числовой прямой, причем R - всюду плотное подпространство в К. Итак, расширенная числовая прямая R является бикомпактным хаусдорфоиым расширением ( с двуточечным наростом) пространства R. Очевидно, далее, что R служит бикомпактным хаус-дорфовым расширением пространства Q рациональных чисел, а также пространства иррациональных чисел. [17]
Таким образом, множество Z в данном примере состоит из двух точек оо и - оо и процесс пополнения пространства X сводится к добавлению двух точек. Построенное пространство иногда называют расширенной числовой прямой. [18]
Всякая стационарная последовательность точек расширенного множества действительных чисел имеет предел, равный общему значению ее членов. Это сразу следует из того, что каждая точка расширенной числовой прямой содержится в любой своей окрестности. [19]
Понятие измеримости надо распространить на функции, могущие принимать бесконечные значения. Достигается это тем, что одноточечные множества оо и - оо на расширенной числовой прямой причисляются к классу борелевских множеств. После этого само определение измеримой функции повторяется дословно. Таким образом, функция, принимающая действительные значения, конечные или бесконечные, измерима, если измеримы множества f - 1 ( oo) и / ( - оо), а также N ( f) Л / 1 ( Щ - каково бы ни было борелевское множество М на числовой прямой. Заметим, что класс борелевских множеств с присоединением к нему сю и - со перестает быть о-кольцом, порожденным всевозможными полузамкнутыми интервалами. [20]
Пусть на декартовом произведении двух измеримых пространств X и Y задана действительная функция /, принимающая конечные или бесконечные значения. Если / такова, что, каково бы ни было борелевское множество М на расширенной числовой прямой, пересечение / - 1 ( М) со всяким измеримым множеством измеримо, то любое сечение функции / обладает тем же свойством. Сохранит ли силу это утверждение, если в определении измеримого пространства не требовать, чтобы все пространство было равно соединению всех измеримых множеств. [21]
Отметим, что нас в основном интересуют числовые последовательностям Последовательности же точек расширенной числовой прямой введены прежде всего для большей компактности изложения: они позволяют не рассматривать отдельно случаи конечных и бесконечных определенного знака пределов последовательностей. Исходя из основных целей, в дальнейшем определения и утверждения будут в основном формулироваться для числовых последовательностей, хотя многие из них безо всякого труда обобщаются на случай последовательностей точек расширенной числовой прямой. [22]