Cтраница 2
Для того чтобы в общем случае одновременно привести две квадратичные формы А ( х х) и В ( х х) к некоторому каноническому виду, нужно заменить пучок матриц А В строго эквивалентным ему каноническим пучком симметрических матриц. [16]
Тогда очевидно: пучок матриц Ы В регулярен. [17]
Само же свойство конечномерности пространства решений устойчиво к достаточно малым произвольным возмущениям. Для систем с постоянными коэффициентами это следует из того факта, что достаточно малые возмущения регулярного пучка матриц: det ( ХА В) Ф О не меняют его регулярности. Для систем с переменными коэффициентами это будет установлено далее. [18]
Структура общего решения вырожденной системы может быть напрямую связана со структурой пучка других эквивалентных систем, полученных из исходной с помощью замены переменных. АДС со свойством совершенства и свойством Q, для которых неособенные преобразования не меняют кронеке-ровой структуры пучка матриц исходной системы. Для АДС, обладающих этими свойствами, и их разностных аналогов выписаны формулы общих решений, в частности уточняется понятие регулярной пары переменных матриц. В этом направлении получены практически исчерпывающие результаты. В [6, 8] изложены исследования по теории обобщенных обратных матриц ( включая матрицу Дразина и ее обобщения), и эти книги являются хорошим введением в рассматриваемый предмет. [19]
Операторные методы, базирующиеся на изоморфизме между матричными многочленами и дифференциальными операторами с постоянными коэффициентами, кратко освещаются в [ 53, с. Большое влияние на последующее развитие теории сингулярных систем оказало замечание Ф.Р. Гантмахера о приложении теории пучков матриц к АД С с постоянными коэффициентами [ 22, с. В работе В.В. Овчаренко, Н.П. Макарущенко [56] исследован один способ приведения пучка матриц с постоянными коэффициентами к канонической форме. [20]
В главе XII излагается общая теория пучков матриц вида А А. Подобно тому как исследование регулярных пучков матриц А ХВ проводится на основе теории элементарных делителей Вейерштрасса, изучение сингулярных пучков опирается на теорию минимальных индексов Кронекера, которая является как бы дальнейшим развитием теории элементарных делителей Вейерштрасса. С помощью теории Кронекера ( автору кажется, что ему удалось упростить изложение этой теории) в главе XII устанавливается каноническая форма пучка матриц А ХВ в самом общем случае. Полученные результаты применяются к исследованию системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. [21]