Cтраница 2
В самом деле, выбирая прямую d и прямую st в качестве носителей образующих рядов пучка второго порядка, найдем на прямой точку Blt соответственную точке В. Тогда прямая ВВ1 Ь и есть искомая. [16]
Например, через любую точку ( аффинно-проективной вещественно-комплексной) плоскости проходят, вообще говоря, две прямые данного пучка второго порядка, определяемые корнями некоторого квадратного уравнения. [17]
Предположим теперь, что прямые a, b и d закреплены неподвижно, в то время как прямая с описывает пучок второго порядка, увлекая при своем движении и точку прикосновения С. Точки А, В и D остаются неподвижными. Докажем, что эти пучки проективны. [18]
Если через точку X проходят две прямые пучка второго порядка, или, иначе, две касательные к кривой второго порядка k ( точка X называется в этом случае внешней точкой), то проективное преобразование пучка второго порядка в себя имеет два двойных элемента и называется гиперболическим. [19]
В квадратичном члене представим квадрат косинуса в виде cos2 ( Фд - Ф5) [ 1 cos 2 ( Ф - Ф5) ] / 2, откуда видно, что этому члену, с одной стороны, соответствует косинусоидальная решетка двойной пространственной частоты, обусловливающая появление пучка второго порядка дифракции, с другой стороны, - постоянная составляющая, вносящая вклад в пучок нулевого порядка. В го-лографической схеме Лейта и Упатниекса нелинейность, которая выражается только квадратичным членом, так мала, что не проявится при реконструкции. [20]
Теперь ясно, что в данном случае пучок второго порядка состоит из двух пучков первого порядка: пучка с центром S, все лучи которого принадлежат пучку второго порядка как соединяющие пары соответственных точек, и пучка с центром Т, все лучи которого ( например, и) также входят в состав пучка второго порядка. [21]
Подобно тому как шесть точек образуют 60 различных шестиугольников, из шести прямых можно получить 60 различных ше-стнсторонников. Поэтому шесть прямых пучка второго порядка определяют 60 точек Брианшона. [22]
Отсюда заключаем, что ряды ( Р) и ( Q), перспективные пучкам R и S, проективны. Другими словами, касательная с описывает пучок второго порядка. [23]
Поэтому шестая ( произвольная) прямая этого пучка должна удовлетворять некоторому условию, которое в геометрической форме выражается теоремой Брианшона. Последняя, таким образом, является своего рода проективным эквивалентом уравнения пучка второго порядка. [24]
При помощи теоремы Брианшона можно по пяти заданным прямым пучка второго порядка построить сколько угодно новых прямых пучка. Пусть, например, даны пять прямых 5Ь с, s2) and, определяющих пучок второго порядка ( черт. [25]
Прямая d пересекает прямые а и Ь соответственно в точках А и В. Нетрудно убедиться в том, что эти ряды проективны. Так как а и Ь - две произвольные прямые данного пучка второго порядка, то теорема доказана. Из нее вытекают следующие свойства пучков второго порядка. [26]
Таким образом, через точку М проходят четыре прямые: АС, BD, QS и PR. Так как точки А, В, С, D - произвольные точки кривой второго порядка, то доказанное свойство четырех прямых, проходящих через точку М, остается в силе при любом положении точки С на кривой второго порядка. Если мы докажем, что ряды ( Р) и ( Q) проективны, то отсюда и будет следовать, что касательная с при своем движении опишет пучок второго порядка. [27]
Пучок второго порядка называется вырожденным, если он имеет двойную прямую. Каждый такой пучок состоит, из двух пучков первого порядка. Если эти пучки различны, то единственной двойной прямой является прямая, соединяющая их центры. Если же они совпадают, то любая прямая данного пучка второго порядка является его двойной прямой. [28]
Рассмотрим пару соответственных точек Л4иЛ2 проективных рядов. Прямую, проходящую через пару A uAz, обозначим буквой а. Предположим, что точка Л4 перемещается по прямой sb описывая ряд Sj в определенном направлении. Наконец, прямая а опишет пучок второго порядка. [29]