Cтраница 2
Эти примеры указывают на целесообразность рассмотрения совокупности всевозможных упорядоченных систем из п действительных чисел. Эта совокупность после введении в нее операций сложения и умножения на число ( что будет сделано ниже по аналогии с соответствующими операциями над векторами трехмерного пространства, выраженными через компоненты) и носит название л-мер-ного векторного пространства. Таким образом, л-мерное пространство есть лишь алгебраическое образование, сохраняющее некоторые простейшие свойства совокупности векторов трехмерного пространства, выходящих из начала координат. [16]
В векторных пространствах скаляры по предположению образуют ( коммутативное) тело. Однако столь богатой структурой запас скаляров обладает далеко не всегда. При умножении такого комплексного числа на целое число получается комплексное число того же вида ( с целой вещественной и мнимой частью), чего нельзя с уверенностью сказать в том случае, когда умножение производится на дробное число. Другим примером почти векторного пространства ( коммутативной группы над множеством скаляров, наделенным более бедной структурой, чем тело) могут служить линейные комбинации с целочисленными коэффициентами любых трех векторов трехмерного пространства, не лежащих в одной плоскости. [17]