Cтраница 2
С известными ограничениями, о которых будет сказано ниже, можно образовывать произведения V с другими векторами и скалярами так, как если бы V был истинным, а не символическим вектором. Как и при пользовании знаком дифференциала, при этом предполагается, что оператор V действует лишь на те величины, которые стоят вправо от него. [16]
Целесообразность введения символического вектора V состоит в том, что с его помощью удобно получать и записывать различные формулы векторного анализа. Кроме того, сами эти формулы приобретают в такой записи большую наглядность и выразительность. [17]
Комплексные числа позволяют производить аналитические расчеты, основанные на векторных диаграммах напряжений, токов и напряженностей полей. Для этого полагают, что символический вектор данной величины расположен на комплексной плоскости и вращается с угловой скоростью ( частотой) со против часовой стрелки. [18]
Таким образом, VU формально может рассматриваться как произведение символического вектора V на скаляр U. Понятно, что можно говорить о градиенте не только функции U, но и любой скалярной функции координат. Понятие градиента широко применяется в самых разнообразных вопросах физики и математики. [19]
Это не должно смущать читателя, так как из дальнейшего видно, что в результате воздействия оператора у на скаляры и векторы получаются величины, имеющие не символический, а вполне реальный определенный смысл. Однако укажем, что недопустимо употреблять, например, такие термины: вектор у параллелен вектору а или вектор у перпендикулярен вектору а. Бессмысленно также, например, говорить, что вектор у равен вектору а, так как символический вектор у не. [20]
Смешанное произведение обычных векторов в случае, когда два сомножителя совпадают, равно нулю, ибо в этом случае параллелепипед, натянутый на эти векторы, вырождается в параллелограмм, и, следовательно, его объем равен нулю. Поэтому естественно ожидать, что указанное равенство справедливо и для вектора V. Это правдоподобное рассуждение можно превратить в математически обоснованное и, тем самым, имеющее доказательную силу, если доказать, что символический вектор V на самом деле обладает использованными нами свойствами, аналогичными соответствующим свойствам обычных векторов. [21]