Cтраница 3
В этом параграфе используются следующие основные понятия; отображение одного множества в другое, преобразование множества, образ элемента и множества, полный прообраз элемента и множества, вложение ( инъектиеное отображение), взаимно однозначное ( биективное) отображение, наложение ( сюръективное отображение), произведение отображений, обратное отображение, линейное преобразование плоскости, аффинное преобразование, образ вектора при линейном преобразовании, линейное преобразование векторной плоскости, симметрия плоскости относительно прямой, симметрия плоскости относительно точки, гомотетия, параллельный перенос плоскости, сжатие к прямой с коэффициентом k, ортогональное преобразование, главные направления аффинного преобразования, собственные векторы линейного преобразования векторной плоскости. [31]
В этом параграфе используются следующие основные понятия: отображение одного множества в другое, преобразование множества, образ элемента и множества, полный прообраз элемента и множества, вложение ( инъективное отображение), взаимно однозначное ( биективное) отображение, наложение ( сюръективное отображение), произведение отображений, обратное отображение, линейное преобразование плоскости, аффинное преобразование, образ вектора при линейном преобразовании, линейное преобразование векторной плоскости, симметрия плоскости относительно прямой, симметрия плоскости относительно точки, гомотетия, параллельный перенос плоскости, сжатие к прямой с коэффициентом k, ортогональное преобразование, главные направления аффинного преобразования, собственные векторы линейного преобразования векторной плоскости. [32]
Наоборот, двукратному корню К соответствует бесконечное множество единичных собственных векторов с одним и тем же собственным числом X. Именно, каждый вектор, перпендикулярный к вектору аъ будет собственным вектором данного линейного преобразования с собственным числом К. [33]
В, имеющей возможно более простои вид. Решение этой задачи связано с рассмотрением характеристического многочлена ML А н собственных векторов соответствующего линейного преобразования. [34]
Изучение линейных операторов унитарных пространств аналогично проведенному выше исследованию линейных операторов евклидовых пространств. Некоторые утверждения получают даже более простую форму, так как переход к комплексному полю позволяет тире использовать собственные векторы линейных преобразований. [35]
Собственный вектор не является нулевым, поэтому, по крайней мере, одна из его координат не равна нулю, следовательно, если для собственного числа X существует собственный вектор, то однородная система ( 29) должна иметь нетривиальное решение. Это может быть только тогда, когда главный определитель системы равен нулю. Следовательно, собственное значение собственного вектора линейного преобразования совпадает с корнем характеристического многочлена матрицы, задающей линейное преобразование. [36]
Собственный вектор не является нулевым, поэтому по крайней мере одна из его координат не равна нулю, следовательно, если для собственного числа Я существует собственный вектор, то однородная система ( 29) должна иметь нетривиальное решение. Это может быть только тогда, когда главный определитель системы равен нулю. Следовательно, собственное значение собственного вектора линейного преобразования совпадает с корнем характеристического многочлена матрицы, задающей линейное преобразование. [37]
Собственный вектор не является нулевым, поэтому по крайней мере одна из его координат не равна нулю, следовательно, если для собственного числа X существует собственный вектор, то однородная система ( 29) должна иметь нетривиальное решение. Это может быть только тогда, когда главный определитель системы равен нулю. Следовательно, собственное значение собственного вектора линейного преобразования совпадает с корнем характеристического многочлена матрицы, задающей линейное преобразование. [38]
Предположим теперь, что матрица линейного преобразования имеет действительные компоненты. Тогда характеристическое уравнение ( 4) этого линейного преобразования является уравнением третьей степени с действительными коэффициентами. Из алгебры известно, что такое уравнение имеет либо три действительных корня, либо один действительный и два комплексно сопряженных корня. Легко видеть, что комплексно сопряженным собственным значениям будут соответствовать комплексно сопряженные собственные векторы линейного преобразования А. [39]