Cтраница 1
Гармонические векторы во многих отношениях представляют собой естественное обобщение аналитических функций одного комплексного переменного на три измерения. Уравнения ( 1) играют в трехмерном случае ту же роль, что и сопряженные уравнения Коши - Римана в случае плоскости. Однако, сравнивая положение в трехмерном и двумерном случаях, мы находим важные различия. Далее, действительная гармоническая функция на плоскости имеет действительную гармоническую сопряженную, также не имеющую особенностей ( хотя, быть может, многозначную) в этой области; в случае гармонических векторов соответствующий факт, вообще говоря, не имеет места. [1]
Поверхностные гармонические векторы этого же порядка п0 представят и члены сумм, соответствующие значению индекса суммирования я - ( я0Ч - 1) - Приравнивая в левой и правой частях (6.6) поверхностные сферические векторы одного и того же порядка, получаем таким образом ( отбрасываем нулик при п) по умножении обеих частей на R - nRn [ ср. [2]
В - гармонический вектор, также является решением уравнения равновесия в перемещениях. [3]
В, В0 - гармонический вектор и скаляр -, v и G - коэффициент Пуассона и модуль сдвига соответственно. [4]
Вектор перемещения (1.4) представлен суммой гармонического вектора В и гармонического скаляра Во или через четыре гармонические функции Вь Bs ( s 1, 2, 3), где Bs - проекции В на оси декартовой системы координат. [5]
Рассмотрим сначала представление для некоторого подкласса гармонических векторов. [6]
Папковича В также представим в форме разложения по пространственным однородным гармоническим векторам Вп и В. [7]
Это выражение, дающее представление вектора перемещений и через гармонический вектор U, непосредственно определяемый по краевым условиям, и является искомым решением. [8]
Вторая рассматриваемая здесь проблема связана с теорией интегралов от гармонических векторов, компоненты которых являются алгебраическими функциями. Эти интегралы, рассматриваемые как функции верхнего предела, являются трансцендентными функциями. Мы покажем, что некоторые комбинации таких интегралов равны некоторым комбинациям интегралов от алгебраических функций одного комплексного переменного, причем пределы этих интегралов связаны алгебраическими соотношениями. [9]
Следует обратить внимание на то, что в обеих частях этих равенств стоят пространственные гармонические векторы одинакового порядка. [10]
Аналогично тому, как это делается в классической теории функций, мы исследуем интегралы от гармонических векторов, компоненты которых - алгебраические функции. [11]
Это - гармоническая функция к, у, z, так как гг и В - гармонические векторы, а 0 и to от координат не зависят; время входит в Ф только через их посредство. Отсюда следует, что если вначале покоившийся сосуд с жидкостью начнет двигаться и в некоторый момент остановится, то остановится в этот момент и заключенная. [12]
Таким образом определен вектор напряжения на площадке, принадлежащей любой сферической поверхности R const, через гармонический вектор Пг, который находится непосредственно по краевым данным. Проведенное вычисление не превосходит по трудности того, которое было проведено для нахождения вектора перемещений в задаче о полой сфере при заданных на ее границах перемещениях. [13]
Второе уравнение получим из написанного, заменив RG на R, далее решим эти уравнения относительно совокупностей величин, заключенных в фигурные скобки, представляющих однородные пространственные гармонические векторы я-й степени. [14]
Задача о равновесии полой сферы при произвольной ее деформации решена А. И. Лурье ( 1953) с помощью общего решения П. Ф. Папковича; благодаря удачному выбору четвертой функции и применению гармонических векторов автору удалось существенно сократить объем вычислений как в случае второй основной задачи, так и в случае первой основной задачи для полой сферы. [15]