Cтраница 2
Ми покажем, что для всякой функции Н, регулярной в 23, можно найти две функции Я2 и Я3, регулярные в 23, такие, что / / ], Н2, Ня будет гармоническим вектором. [16]
С другой стороны, если 23 не является областью типа, описанного в лемме, то для данной гармонической функции, регулярной в 23, может не существовать пары гармонических функций Я2, Н3, регулярных в 23 и таких, что ( Hlt Я2, / / 3) образуют гармонический вектор. Пример такой гармонической функции дан выше ( см. стр. [17]
Нг - компоненты вектора Н) является точным дифференциалом, так что интеграл от такого выражения вдоль любой замкнутой кривой равен нулю, если эта кривая может быть непрерывно стянута в точку внутри области регулярности векторного поля. Однако гармонические векторы), соответствующие рассмотренным в гл. [18]
В и гармонический скаляр Во, определяемые соответственно формулами (2.2.8), (2.2.5) и (2.2.6), являются функциями только двух координат. При использовании этого решения следует иметь в виду, что в системе криволинейных координат компоненты гармонического вектора В не удовлетворяют уравнениям Лапласа. [19]
Во второй главе настоящей книги построен интегральный оператор с аналогичными свойствами, но определенный на множестве аналитических функций двух комплексных переменных. Оба этих оператора, а также оператор типа потенциала Ньютона, применяются во второй и четвертой главах к изучению ряда важных классов гармонических функций и так называемых гармонических векторов в трехмерном пространстве. [20]
Тогда эти поверхности минимальны. Итак, некоторые экстремальные точки функционала Дирихле порождают экстремальные точки функционала площади: из каждой гармонической точки, отнесенной к конформным координатам, вырастает целое семейство минимальных радиус-векторов, если подвергнуть исходные параметры гармонического вектора произвольной регулярной замене координат. [21]
Тогда эти поверхности минимальны. Итак, некоторые экстремальные точки функционала Дирихле порождают экстремальные точки функционала площади: из каждой гармонической точки, отнесенной к конформным координатам, вырастает целое семейство минимальных радиус-векторов, если подвергнуть исходные параметры гармонического вектора произвольной регулярной замене координат. Не каждый гармонический вектор порождает минимальную поверхность. [22]
Гармонические векторы во многих отношениях представляют собой естественное обобщение аналитических функций одного комплексного переменного на три измерения. Уравнения ( 1) играют в трехмерном случае ту же роль, что и сопряженные уравнения Коши - Римана в случае плоскости. Однако, сравнивая положение в трехмерном и двумерном случаях, мы находим важные различия. Далее, действительная гармоническая функция на плоскости имеет действительную гармоническую сопряженную, также не имеющую особенностей ( хотя, быть может, многозначную) в этой области; в случае гармонических векторов соответствующий факт, вообще говоря, не имеет места. [23]
Понтера по гидродинамике неоднократно приводили его к необходимости оперировать с функциями, которье не имеют достаточного числа производных для того, чтобы к ним можно было применять обычные д ЕЯ рассматриваемою вопроса методы рассуждения. В ряде работ Гюнтер применяет к такого рода вопросам анализа метод сглаживания. Этот метод, неоднократно применявшийся в работах В. А. Стеклова, состоит в замене функции интегралом от нее по малому переменному промежутку ( х, л: - ] - / г), деленному на длину / г этого промежутка. Этот прием может применяться и в случае нескольких переменных. Полученную таким образом функцию Гюнтер называл обычно функцией Стеклова. В этой работе он занимается прежде всего решением уравнений rot X А и gradXl, где А - заданный вектор, являющийся непрерывной функцией точки, и X - искомый вектор. Наличие производных у составляющих заданного вектора не предполагается. В работе дается необходимое и достаточное условие разрешимости упомянутых уравнений. Если построить векторный ньютонов потенциал В, приняв за плотность заданный вектор А то для разрешимости первого из указанных уравнений необходимо и достаточно, чтобы div В была гармонической функцией, а для разрешимости второго уравнения необходимо и достаточно, чтобы rotS был гармоническим вектором. В этой же раГоте Гюнтер рассмотрел задачу в другой постановке, а именно - он заменил упомянутые уравнения интегральными соопюшениями, которые получаются интегрированием уравнений по некоторой области и применением формулы Гаусса. [24]