Разбегание - траектория
Cтраница 2
Дд приводит к возмущению импульса. Поэтому описание хаотического движения на основе экспоненциально быстрого разбегания близких траекторий в квантовой механике становится невозможным. [16]
Если мы рассмотрим две траектории фазового пространства, одну невозмущенную и одну возмущенную, то мы увидим, что в радиальном направлении они сходятся, в то время как в направлении вдоль цикла они ни сходятся, ни расходятся. В терминах нелинейной динамики свойства сближения / разбегания близких траекторий характеризуются показателем Ляпунова. Абсолютное значение этого показателя характеризует скорость схождения. Аналогично, разбегание траекторий ( мы столкнемся с этим свойством позже, при изучении хаотических осцилляторов в разделе 5.1) характеризуется положительным показателем. Наконец, нейтральное направление ( нет сближения и нет разбегания) соответствует нулевому ляпуновскому показателю. Наиболее важный вывод, который используется при теоретическом рассмотрении в части II, состоит в том, что фаза осциллятора может рассматриваться как переменная, соответствующая нулевому ляпуновскому показателю. [17]
Вокруг этой впадины расположены три долины и три склона, примыкающие к сторонам равностороннего треугольника ABC. Большое число критериев стохастичности основано на оценке скорости разбегания первоначально близких траекторий. [18]
Появление резонанса в динамических макросистемах означает, что в фазовом пространстве возникают точки, в которых невозможно вычислить траектории, так как они отвечают одной из форм детерминированного хаоса, связанного с неустойчивостью системы. В случае квантовых систем это условие отвечает коллапсу волновой функции, а классических - разбеганию траекторий. Пригожий показал, что хотя основной объект квантовой механики волновая функция удовлетворяет обратимости во времени, без учета точек бифуркаций, отвечающих переходам порядок-хаос-порядок как в макро -, так и в системах наномира нельзя описать физические процессы в неравновесных системах на пути к равновесию. [19]
Поскольку хаотичность связана с неустойчивостью относительно малых возмущений, в качестве такой меры можно использовать среднюю скорость разбегания траекторий в фазовом пространстве. [20]
Когда этот прибор покоится, то шарик имеет два устойчивых и одно неустойчивое положения равновесия. Если же ящик совершает горизонтальные периодические движения достаточно большой амплитуды, то шарик начинает беспорядочно перепрыгивать из одной ямы в другую. Разбегание траекторий в этой системе связано с наличием неустойчивой точки равновесия на вершине среднего холмика. [21]
Собственные значения матрицы М ( dFn / dxm) определяют устойчивость траектории. Так, если модули всех ее собственных значений меньше единицы, траектория является устойчивой, и любые отклонения от начальной траектории со временем будут стремиться к нулю. Такое разбегание траекторий и является причиной возникновения классического хаоса. [22]
Чтобы продвинуться дальше, нам нужно рассмотреть еще одну особенность хаотических систем, а именно, разбегание траекторий в фазовом пространстве. Из рисунка 13 видно, что близкие вначале траектории экспоненциально быстро разбегаются друг от друга. Именно это разбегание траекторий и приводит в конце концов к необратимости. [23]
Это означает, что при t - оо объем аттрактора в трехмерном пространстве стремится к нулю. С другой стороны, хаотические траектории не могут существовать на двумерной поверхности. Представление о разбегании траекторий и стремлении к нулю фазового объема кажется, на первый взгляд, парадоксальным - с увеличением относительного расстояния между траекториями поток остается в ограниченной области пространства, хотя его объем равен нулю. Оказалось, что странный аттрактор представляет собой множество точек, не являющееся подмногообразием фазового пространства. Аттрактор является фракталом - объектом дробной размерности. [24]
Если мы рассмотрим две траектории фазового пространства, одну невозмущенную и одну возмущенную, то мы увидим, что в радиальном направлении они сходятся, в то время как в направлении вдоль цикла они ни сходятся, ни расходятся. В терминах нелинейной динамики свойства сближения / разбегания близких траекторий характеризуются показателем Ляпунова. Абсолютное значение этого показателя характеризует скорость схождения. Аналогично, разбегание траекторий ( мы столкнемся с этим свойством позже, при изучении хаотических осцилляторов в разделе 5.1) характеризуется положительным показателем. Наконец, нейтральное направление ( нет сближения и нет разбегания) соответствует нулевому ляпуновскому показателю. Наиболее важный вывод, который используется при теоретическом рассмотрении в части II, состоит в том, что фаза осциллятора может рассматриваться как переменная, соответствующая нулевому ляпуновскому показателю. [25]
 |
Траектория в фазовом пространстве как пересечение двух инвариантных поверхностей. [26] |
Как было показано, существуют по крайней мере два типа ситуаций, в которых динамическое движение привносит случайные элементы. К-потовгам), второй - г-катастрофе Пуанкаре, в которой резонансы препятствуют продолжению невозмущенных инвариантов движения при включении взаимодействия. Эти две ситуации совершенно различны: в первом случае динамическая система задается оператором Лиувилля с вполне определенными спектральными свойствами ( такими, как существование непрерывного спектра); во втором случае существенную роль играет разложение полного гамильтониана Е ( см. (2.35)) на две части Я0 и V. Однако в обоих случаях характер движения таков, что две траектории могут со временем разойтись на любое расстояние независимо от того, сколь близко были расположены их начальные точки. Такое разбегание траекторий свидетельствует о неустойчивости движения и имеет очевидное значение для поведения динамических систем на больших промежутках времени. [27]
В хаотических системах возникновение случайности связано с новой геометрической структурой - странным аттрактором. Наглядно гиперболичность представляет собой комбинацию растяжения фазового объема в одном направлении и сжатия в другом. Растяжение приводит к стохастичности, сжатие необходимо, чтобы траектории оставались в ограниченной области фазового пространства. Растяжение и сжатие систематически устраняют начальную информацию: при экпоненциальном разбегании траекторий возрастает неопределенность, обусловленная неопределенностью Д VQ, при сжатии сближаются далеко отстоящие траектории и стирается различие в начальных данных. [28]
Чтобы продвинуться дальше, нам нужно рассмотреть еще одну особенность хаотических систем, а именно, разбегание траекторий в фазовом пространстве. Для этого опять выберем некоторую пробную частицу ( см. рис. 1) и рассмотрим, наряду с ее реальной траекторией, близко расположенную возможную траекторию движения. Другими словами, близкие вначале траектории экспоненциально быстро разбегаются друг от друга. Именно это разбегание траекторий и приводит в конце концов к необратимости. [29]
Страницы: 1 2