Cтраница 1
Дальнейшее развитие математики показало, что нельзя ограничиться лишь какими-то просто описываемыми способами задания функций, гораздо полезнее допустить любой мыслимый способ соответствия между переменными. [1]
Однако дальнейшее развитие математики и ее приложений показало, что понятие бикомпактности настолько важнее первоначального понятия компактности, что сейчас часто под компактностью понимают именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют счетно компактными. Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам. [2]
Как показало дальнейшее развитие математики, потенциал эвристической идеи интерпретаций, в соответствии с замечанием, сделанным здесь ранее, не был исчерпан созданием аксиоматического метода, и ее эволюция не завершилась. [3]
Однако не успело еще закрепиться новое расширенное понятие числа, как дальнейшее развитие математики показало, что и новое понятие является также неудовлетворительным. [4]
Однако в процессе такого рода формальных построений Вронский получил некоторые результаты, оказавшиеся важными в дальнейшем развитии математики. [5]
Это не единственные исследования, восходящие непосредственно к теореме Бернштейна, однако они убедительно показывают, как один результат может оказать существенное влияние на дальнейшее развитие математики. [6]
Его главная работа Начала ( в латинизированной форме - Элементы) содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвел итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Из др. сочинений по математике надо отметить О делении фигур, сохранившееся в арабском переводе, 4 кн. Конические сечения, материал к-рых вошел в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также Поризмы, представление о к-рых можно получить из Математического собрания Паппа Александрийского. [7]
На первых, начальных ступенях развития научного знания аксиоматический метод был содержательным, имел дело с понятиями и положениями ( аксиомами), которые так или иначе обобщали накопленный эмпирический опыт и рассматривались как интуитивно очевидные. Но впоследствии по мере дальнейшего развития математики и логики содержательная сторона аксиоматического метода начинает вытесняться чисто формальными построениями. Теперь аксиомы вводятся как описания абстрактной системы отношений, не имеющие жесткой связи с какой-либо реальной областью действительности. Получаемые в результате дедуктивного выведения из этих аксиом высказывания представляют собой звенья единой теории. После создания такой теории возникает проблема ее интерпретации - распространения на ту или иную предметную область. [8]
Декартом, которым соответствует декартова универсальная математика, обеспечили для этой науки строго дедуктивный статус. Представляется, что в результате дальнейшего развития математики в русле декартовых принципов, характерных именно для универсальной математики, этот статус естественным образом распространился и на вновь формирующиеся области математики. И вполне понятно, что в дальнейшем вся математическая наука в целом стала рассматриваться уже как образец дедуктивности и строгости. Декарта, видимо, никто особенно не задумывался. [9]
Истинных математиков очень мало, и это вполне объяснимо. Общество не нуждается в большом числе математиков потому, что уже существующие разделы математики достаточны для решения подавляющего большинства практических задач и дальнейшее развитие математики - дело немногочисленной группы истинных математиков - ничуть не служит препятствием к удовлетворению практических потребностей. Все это приводит к тому, что спрос на творческую, чисто математическую работу мал, и профессия математика сулит не больше материальных благ, чем профессия энтомолога, и уступает профессиям филолога, поэта, художника и музыканта. [10]
Перехожу к работам по квантовой механике, в которых особенно ярко проявилась вторая из отмеченных выше особенностей его научного дарования. Только критическая эпоха Вейерштрасса, внесшая ясность в содержание и область применимости понятий и операций анализа, бурно развившегося в эпоху Бернулли и Эйлера, создала предпосылки для дальнейшего развития математики. [11]
Дальнейшее развитие математики и ее приложений показало, что понятие бикомпактности настолько важнее первоначального понятия компактности, что сейчас под компактностью понимают именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства наз. [12]
Дальнейшее совершенствование структуры ИМТ на основе генерализационного ( всеобщего) информационного подхода, как всеобщей методологии научного познания, будет способствовать прекращению хаоса в порой ненужной повторной квазиматематизации отдельных вопросов, которая не имеет ни научного предвидения, ни практического приложения. ИМТ должна избавить научных работников и их оценителей от лишнего функционального многообразия, семантико-синтаксической сложности и запутанности аналитических выражений, часто сводящихся скорее всего к философской математической эквилибристике, чем к законченным прикладным заключениям и апробированным рекомендациям. Со временем, информационно очистив дальнейшее развитие математики от философско - математического хаоса, запутанности и эквилибристики, отбросив аналогичное прошлое, можно создать такую ИМТ, которая будет удобным научным пособием для исследователей и инженеров, являющимся как бы таблицей умножения в информационно-физико-математикой теории и практике, аналогичной таблице Менделеева в химии. [13]
Вейля, о котором необходимо сказать подробнее. И несмотря на это, статья меньше всего может рассматриваться только как подведение итогов - она, так сказать, устремлена в будущее, а не в прошлое. Внимательный читатель сможет усмотреть в ней некоторые тенденции дальнейшего развития математики, получившие полное выражение уже в послевейлевский период: расцвет алгебраической геометрии и топологии, развитие теории функций многих комплексных переменных или глобальных разделов вариационного исчисления и геометрии; уже упомянутую тенденцию к алгебраизации математики; в ней отмечен даже частичный закат классической дифференциальной геометрии ( ср. [14]
Однако ни один из этих подходов не предложил адекватной стратегии развития математического знания, в рамках которой возможно было бы получить убедительное объяснение недостижимости абсолютного обоснования математики исключительно на основе исследования специфики математического знания, то есть на основе причин внутриматематического характера, без какого-либо пересмотра особого дедуктивного статуса математики по сравнению с эмпирическими или техническими дисциплинами. И эмпирический, и социокультурный подходы в философии математики строят свои концепции развития математики, опираясь исключительно на внешние по отношению к математическому знанию факторы, что является серьезным методологическим недостатком этих теорий. В то же время излагаемый подход, предполагающий при изучении вопросов открытия и становления математического знания опору на концепцию неявного знания, напротив, углубляет и укрепляет представления о математике как о дедуктивной науке, чем способствует не только лучшему пониманию перспективы дальнейшего развития математики, но и уточнению современной концепции научного знания. [15]