Cтраница 3
Конечно, по всем этим разделам алгебры написаны многочисленные монографии и обзорные статьи. Однако теперь уже, пожалуй, невозможно написать монографию, отражающую все основные идеи и направления, скажем, теории групп. Отбор материала, осуществляемый автором каждой из таких монографий, неизбежно субъективен. Поэтому в поисках нужных результатов приходится перебирать, в значительной степени наугад, большое число различных источников. Настоящий справочник имеет целью облегчить эту работу. В нем, наряду с основными определениями, представлены многочисленные результаты, включенные в те или иные монографии и обзоры, а также приведен обширный список монографической и обзорной литературы по соответствующим разделам общей алгебры. В ряде случаев упоминаются и отдельные результаты, отраженные только в журнальных публикациях, и тогда необходимые ссылки приводятся непосредственно в тексте. [31]
Конечно, по всем этим разделам алгебры написаны многочисленные монографии и обзорные статьи. Однако теперь уже, пожалуй, невозможно написать монографию, отражающую все основные идеи и направления, скажем, теории групп. Отбор материала, осуществляемый автором каждой из таких монографий, неизбежно субъективен. Поэтому в поисках нужных результатов приходится перебирать, в значительной степени наугад, большое число различных источников. Настоящий справочник имеет своей целью облегчить эту работу. В нем, наряду с основными определениями, представлены многочисленные результаты, включенные в те или иные монографии и обзоры, а также приведен обширный список монографической и обзорной литературы по соответствующим разделам общей алгебры. В ряде случаев упоминаются и отдельные результаты, отраженные только в журнальных публикациях, и тогда необходимые ссылки приводятся непосредственно в Тексте. [32]
На примере теории групп видно, что отдельные алгебраические дисциплины дают не только средства для технических вычислений, но и язык для выражения глубоких законов природы. Однако, помимо непосредственного практического значения ряда разделов алгебры для физики, химии, кристаллографии и других наук, в самой математике алгебра занимает однр из важных мест. Чеботарева, алгебра была колыбелью многих новых идей и понятий, возникших в математике, и в значительной степени оплодотворяла развитие таких разделов математики, которые служат уже непосредственной базой физических и нических щук. [33]
Наконец, в четвертой главе приведен совсем краткий обзор современной алгебры. Разумеется, речь идет не о том, что те разделы алгебры, с которыми читатель познакомился в предыдущих главах, устарели. Мы хотели лишь показать, что проводимые ныне исследования можно рассматривать как новые самостоятельные разделы алгебры. [34]
Сейчас эта точка зрения представляется наивной. Например, векторные пространства и алгебры над телом кватернионов рассматриваются в многих разделах алгебры, топологии, геометрии. [35]
При этом типичные для комбинаторной геометрии задачи связаны с оценкой тех или иных целых чисел - обычно числа точек или фигур, которые могут входить в удовлетворяющую условиям задачи конфигурацию. Именно таким характером рассматриваемых здесь задач и объясняется прилагательное комбинаторная - ведь комбинаторикой называется раздел алгебры, в котором подсчитывается число тех или иных комбинаций конечного числа элементов, удовлетворяющих заданным в формулировке задачи условиям. [36]
Издатель, преподаватель Дублинского университета Уильдер, заменил статью Галлея посвященными приближенному вычислению корней уравнений разделами Алгебры Маклорена. В статье Мегира ( также преподавателя университета в Дублине) изложено было учение о логарифмах. [37]
Впервые доказанная в 1799 г. великим немецким математиком Гауссом, эта теорема известна как основная теорема алгебры. Необходимо отметить, однако, что это название теоремы, несмотря на ее важность для всех разделов алгебры, связанных с числами, все же не может в настоящее время пониматься буквально, так как современная алгебра не ограничивается изучением операций над числами. [38]
За пределами настоящего справочника остались коммутативная алгебра ( в частности, теория полей), конечные группы, линейные группы, представления групп и некоторые другие разделы: границы общей алгебры достаточно неопределенны. Сравнительно мало внимания уделено алгебрам Ли. Надеемся, что эти разделы алгебры будут отражены в других выпусках справочника по математике. [39]
За пределами настоящего справочника остались коммутативная алгебра ( в частности, теория полей), конечные группы, линейные группы, представления групп и некоторые другие разделы: границы общей алгебры достаточно неопределенны. Сравнительно мало внимания уделено алгебрам Ли. Надеемся, что эти разделы алгебры будут отражены в других вы-пусках справочника по математике. [40]
За пределами настоящего справочника остались коммутативная алгебра ( в частности, теория полей), конечные группы, линейные группы, представления групп и некоторые другие разделы: границы общей алгебры достаточно неопределенны. Сравнительно мало внимания уделено алгебрам Ли. Надеемся, что эти разделы алгебры будут отражены в других выпусках справочника по математике. [41]
Ныне обе они представляют собой громадные области. Дискретная математика обнимает, в частности, символическую логику, комбинаторный анализ, математическую лингвистику, теорию чисел, так называемую современную алгебру и нечисловые применения вычислительных машин. Континуальная математика включает теорию функций, дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, большую часть математической физики и многие разделы классической алгебры. [42]
Термин алгебра происходит от названия сочинения Мухаммеда аль - Хорезми Альджебр аль-мукабала ( IX век), содержащего общие методы решения задач, сводящихся к уравнениям 1 - й и 2 - й степени. В настоящее время все эти разделы алгебры принято называть элементарной алгеброй. [43]
Аналогично обстоит дело и с уравнениями более высокого порядка. Следовательно, перемена знака служит в данном случае той операцией, которая переставляет корни уравнения х и х2 так же, как повороты куба переставляли его грани. При изучении перестановок пяти величин х, х2, з, 4, х довольно быстро выясняется, что изменение знаков различных радикалов не приводит к нужным перестановкам корней. Разумеется, решение уравнений составляет лишь один из многочисленных разделов алгебры, которая в свою очередь является лишь одним из многих разделов математики. Теория вероятностей возникла из задач, которые ставили перед математиками любители азартных игр. Ее создатели Ферма, Паскаль, Гюйгенс и Бернулли занимались вопросом о том, как следует разделить сделанные игроками ставки, если игра по той или иной причине не закончена и если игрок А набрал т, а игрок В - п очков. Предположим, например, что два шахматиста одинаковой силы играют на приз в 100 франков, который получает тот, кто первым наберет 3 очка. Партии, закончившиеся вничью, при подсчете очков во внимание не принимаются. [44]
В 1977 г. в высшие учебные заведения пришли школьники, обучавшиеся математике по новой программе. Математическая подготовка современных школьников существенно отличается от прежней. Это необходимо учесть при изложении курса теоретической механики. Цель настоящей статьи - ознакомить преподавателей с содержанием некоторых разделов алгебры и геометрии, изучаемых в средней школе, не обсуждая их достоинств и недостатков. [45]