Cтраница 2
Особенности начальных данных распространяются по поверхности конуса только для уравнений типа Ковалевской. Это гарантирует однозначную разрешимость задачи Коши в классах аналитических функций, что отвечает классической теореме Коши - Ковалевской. [16]
Аккуратное исследование этих связей включает вопросы об однозначной разрешимости задачи Коши и об оценках решений, достаточных для применения теоремы Стокса в неограниченной области. Оба вопроса существенно зависят от конкретного вида уравнений и не могут быть решены без дополнительных предположений. [17]
До сих пор мы занимались только оценками решений задачи с косой производной. Фактическое решение задачи для уравнения Lu - f может быть методом непрерьюного продолжения по параметру ( как в теореме 6.8) сведено к исследованию аналогичной задачи для уравнения Пуассона, однако теперь необходимо осуществлять непрерывное продолжение пары операторов - дифференциального оператора L и граничного оператора N. Однозначная разрешимость задачи с косой производной при соответствующих ограничениях на операторы L и N доказывается в следующей теореме. [18]
Далее выбираем в тихоновском произведении из совокупности аппроксимаций обобщенную сходящуюся подпоследовательность. Поскольку тихоновская топология есть топология поточечной сходимости ( где аргументами служат начальные данные MO), то дальше повторяются рассуждения первой части доказательства. Таким образом, для каждого начального условия из MQ построено однозначно функциональное решение задачи, являющееся пределом аппроксимаций по некоторой общей для всех начальных данных направленности параметров метода. Очевидно, тем самым построен искомый класс однозначной разрешимости задачи Коши. [19]
Далее выбираем в тихоновском произведении из совокупности аппроксимаций обобщенную сходящуюся подпоследовательность. Поскольку тихоновская топология есть топология поточечной сходимости ( где аргументами служат начальные данные MQ), то дальше повторяются рассуждения первой части доказательства. Таким образом, для каждого начального условия из MQ построено однозначно функциональное решение задачи, являющееся пределом аппроксимаций по некоторой общей для всех начальных данных направленности параметров метода. Очевидно, тем самым построен искомый класс однозначной разрешимости задачи Коши. [20]