Cтраница 2
В случае разрывов решений теряют силу основные предпосылки, заложенные в конструирование разностных схем - гладкость решения и возможность его разложения в ряд Тейлора. [16]
Поэтому в случае произвольного начального распределения и ( 0, х) F ( x) точки профиля с большей ординатой будут догонять и перегонять точки, движущиеся с меньшей скоростью, что приводит к опрокидыванию волн и появлению многозначных решений. Для устранения этого вводятся разрывы решения. [17]
Отметим, что использование уравнения для насыщенности в виде (9.29) объясняется тем, что скорость смеси меняется непрерывным образом, в то время как скорости составляющих фаз разрывны. Запись балансового отношения в виде (9.30) переносит разрывы решений и их учет на долю воды в потоке. [18]
I, при решении задач газовой динамики: могут встречаться различные особенности, например разрывы решения - ударные волны и контактные разрывы. К последним относятся и границы раздела двух сред с различными физическими свойствами. Помимо этих физических особенностей, в процессе решения задачи конечно-разностными методами приходится иметь дело с нерегулярностями разностного происхождения. К ним следует отнести, например, граничные точки сетки. Наличие в задаче подобных неоднородностей вынуждает в окрестности каждой особой точки видоизменять алгоритм численного счета, приспосабливая его к каждой индивидуальной особенности. Такой путь весьма неудобен - он громоздок и приводит к большим сложностям при реализации логической структуры алгоритма, ибо, как правило, заранее положение нерегулярных точек неизвестно. [19]
Решение линейного уравнения переноса может иметь разрывы только в том случае, если они содержатся в начальных или граничных данных. В квазилинейном уравнении даже при непрерывных и достаточно гладких начальных данных могут возникать разрывы решения. [20]
Часто случается, что сеточная задача устойчива в одной норме, согласованной с некоторой дифференциальной нормой, но неустойчива в другой. В случае гладких решений для практической приемлемости схемы обычно достаточно устойчивости в какой-либо согласованной норме. В случае разрывных решений к разностным аппроксимациям часто предъявляются некоторые дополнительные требования относительно поведения их решений вблизи мест разрыва решений; в этих случаях часто недостаточно устойчивости в произвольной согласованной норме. Например, требование устойчивости в определенных нормах предъявляется в отношении аппроксимаций задач газовой динамики. [21]
Как уже указывалось, построенный в этом разделе аппарат имеет различные приложения к уравнениям математической физики. В следующем разделе он будет использован в теории граничных задач для линейных и квазилинейных уравнений эллиптического и параболического типов. Нелинейные гиперболические уравнения характерны тем, что даже при гладких начальных условиях появляются разрывные решения: начальные условия переносятся по характеристикам и при пересечении характеристик образуются разрывы решений. [22]
В основе такой приближенной постановки лежит понятие обобщенного решения. Расширяется класс решений дифференциальных краевых задач, не имеющих гладких решений, и вводятся обобщенные решения, которые могут быть разрывными. Так, физические законы сохранения записываются не в дифференциальной, а в интегральной форме, в этом случае они имеют смысл и для разрывных функций, которые нельзя дифференцировать, но можно интегрировать. Разностные схемы, построенные для уравнений, полученных на основе интегральных законов сохранения, дают возможность найти решения с помощью удобных для реализации на ЭВМ процедур сквозного счета, не выделяя разрывов решений. [23]
При использовании схем третьего и четвертого порядков точности осцилляции решений меньше, чем при вычислениях по схемам второго порядка. Поэтому в схемы повышенного порядка также необходимо вводить искусственную вязкость. Так, численные эксперименты показали, что если в схему Лакса-Вендроффа для рассматриваемой задачи необходимо ввести искусственную взкость с коэффициентом Ах / 6, то в схему третьего порядка - в 5 раз, а четвертого - в 10 раз меньшим. Поэтому схемы повышенного порядка значительно меньше размазывают разрывы решения. Их преимущества особенно значительны при расчете оторочек малого объема. [24]