Сингулярное распределение

Cтраница 1

Сингулярные распределения не поддаются аналитическому изучению, и их явное представление практически невозможно. Чтобы иметь возможность применять аналитические методы, приходится, следовательно, накладывать ограничения, которые обеспечивают либо абсолютную непрерывность, либо атомичность рассматриваемых распределений. Сингулярные распределения, однако, играют важную принципиальную роль, и многие статистические критерии основываются на их существовании. Это обстоятельство затемняется бытующим мнениемл что в практике сингулярные распределения не встречаются. [1]

Существуют и сингулярные распределения, не допускающие интегрального представления. [2]

Классический пример сингулярного распределения дает следующий пример. [3]

Y х служит примером так называемых сингулярных распределений. [4]

В силу свойства 5, функции сингулярных распределений непрерывны. Заметим также, что если распределение F дискретно и сосредоточено на ( счетном) множестве В0, то условия 1) - 2) выполнены, но условие 3) не выполнено, так что возможность одновременного выполнения 1) - 3) представляется неожиданной. [5]

Этот результат можно использовать для построения примеров сингулярных распределений, которые после некоторого числа композиций самих с собою становятся абсолютно непрерывными. В R1 такие примеры могут казаться патологическими. Однако в Rs при s - 2 существуют простые, естественные примеры распределений, обладающих подобным свойством. [6]

Следующие примеры показывают, что свертка двух сингулярных распределений может тлеть непрерывную плотность. Из этих примеров видно также, что можно эффективно вычислять свертки, не используя определяющую их формулу. [7]

Полученные выше результаты не проводили различия между сингулярными распределениями, которые являются дискретными, непрерывными или смесями дискретных и непрерывных. Согласно следующей теореме, распределение величины X либо всюду непрерывно, либо чисто дискретно, что определяется следующими условиями. [8]

Инвариантное распределение для уравнения Ван-дер - Поля при А 2. Формально плотность распределения обращается в бесконечность на цикле и равна нулю в остальных точках фазовой плоскости х, у х. На рисунке отложенная по вертикальной оси величина отвечает амплитудному множителю при дельта-функции. [9]

Обобщение, охватывающее как гладкие, так и сингулярные распределения, достигается привлечением специальной математической конструкции, меры. Меру можно рассматривать как функцию, которая ставит в соответствие подмножеству фазового пространства ( не любому, но принадлежащему к достаточно обширному классу измеримых подмножеств) некоторое неотрицательное число. Понятие меры шире, чем понятие функции распределения: любой функции распределения отвечает некоторая мера, но не всякой мере будет соответствовать разумная функция распределения. [10]

При этом получаются некоторые интересные непрерывные, но сингулярные распределения ( см. разд. [11]

Примеры, г) Равномерное распределение на О, 1 является сверткой двух сингулярных распределений канторовского типа. [12]

Сингулярные распределения представляют собой некоторую экзотику и в реальных задачах практически не встречаются. Мы исключаем такие случайные величины из дальнейшего изучения. [13]

Небольшое размышление показывает, что возможность принять решение после конечного числа испытаний основана на сингулярности Fp при р Ф 1 / 2 по отношению к / ч / а. Таким образом, существование сингулярных распределений является существенным для статистической практики. I, 10, было введено понятие единичного вектора в Э1г со случайным направлением. Распределение такого вектора сосредоточено на единичной окружности и, следовательно, является сингулярным по отношению к мере Лебега ( площади) в плоскости. [14]

Страницы: 1 2