Cтраница 2
Примеры, а) В примере I, 11, в) случайный выбор точки между О и 1 осуществляется посредством последовательных бросаний монеты. В терминологии настоящего параграфа это означает представление равномерного распределения в виде бесконечной свертки. Пример I, 11, г) показывает, что бесконечная свертка соответствующих распределений с четными номерами есть сингулярное распределение. [16]
Такие результаты называются локальными предельными теоремами теории вероятностей. С самого начала, здесь приходится рассматривать отдельно два случая: первый случай - суммы так называемых решетчатых случайных величин ( случайные величины называются решетчатыми, если при подходящем линейном преобразовании шкалы отсчета их значения становятся целочисленными); второй случай - суммы величин, имеющих плотность распределения. С чем мы тут имеем дело - с несовершенством ли математической теории или с непонятными пока свойствами пространства, которое допускает дискретную илч непрерывную модель, но почему-то не допускает сингулярной - сказать в настоящее время невозможно. Ясно, конечно, что сингулярные распределения не могут иметь практического значения. [17]
В случае неидеальной монеты ( 0 р 1, р ф 1 / 2) результирующая величина имеет распределение, которое является непрерывным, но сингулярным, поскольку оно сосредоточено на множестве лебеговой меры нуль. В этой заметке рассматривается случай, когда двоичные цифры - независимы, но не одинаково распределены. Существует ли в рамках данной ситуации какие-либо интересные случайные величины. Оказывается, что существуют некоторые интересные сингулярные распределения и распределения, которые имеют плотности. [18]
Сингулярные распределения не поддаются аналитическому изучению, и их явное представление практически невозможно. Чтобы иметь возможность применять аналитические методы, приходится, следовательно, накладывать ограничения, которые обеспечивают либо абсолютную непрерывность, либо атомичность рассматриваемых распределений. Сингулярные распределения, однако, играют важную принципиальную роль, и многие статистические критерии основываются на их существовании. Это обстоятельство затемняется бытующим мнениемл что в практике сингулярные распределения не встречаются. [19]