Cтраница 2
Благодаря указанной выше работе Н. И. Ахиезера ( и) и последним исследованиям Б. Я. Левина ( 18), дающим исчерпывающее распространение теоремы о модуле производной, условие теоремы II может быть несколько расширено. [16]
Несмотря на то что характеристики этого течения установлены только приблизительно, этот факт противоречит указанной, но не доказанной в [17] возможности распространения теоремы 2 на неоднородные винтовые потоки. По-видимому, он свидетельствует о том, что теорема 2 справедлива только для однородных винтовых потоков, для которых она и доказана, а для неоднородных она перестает, вообще говоря, быть справедливой. [17]
Иногда можно идеализировать С-часть системы в виде группы звеньев обычного типа, последовательно соединенных с звеном запаздывания. Распространение теорем об оптимальном процессе на такие случаи при некоторых дополнительных условиях не представляет значительных затруднений. [18]
Можно показать, что интегральная теорема Коши справедлива и тогда, когда функция f ( z) нерегулярна вдоль кривой С, при условии, если она регулярна в области, ограниченной кривой С, и значения ее неразрывны с принятыми на границе. Это распространение теоремы особенно важно для двухмерного потока, обусловленного размещением источников или вихрей вдоль границы. [19]
Сравнение выражений (3.32) и (3.33), а также (12.10) и (12.11) показывает, что уравнения Чаплыгина и уравнения для приводящего множителя записываются в одинаковой форме как в случае истинных координат, так и в случае квазикоординат. Следовательно, распространение теоремы о приводящем множителе на случай квазикоординат является вполне правомерным. Поэтому окончательный вид упомянутых выше уравнений в случае квазикоординат может оказаться, вообще говоря, отличным от вида уравнений в случае истинных координат. [20]
Отсюда и из ( 12) вытекает справедливость вариационного принципа ( 5) для характеристического числа А. Этим завершается распространение теоремы § 19.3 на эрмитовы полярные ядра. [21]
Корни Pi ( t) уравнения (3.4.1) были изучены Чезари. Следующая теорема является распространением теоремы 3.4.3 на случай линейных систем. [22]
Хорошо известная теорема Лиувилля о том, что ограниченная на всем пространстве гармоническая функция равна постоянной, неоднократно обобщалась разными авторами. Особенно много работ было посвящено распространению теоремы Лиувилля на однородные эллиптические уравнения. [23]
Большой интерес представляют опубликованные как у нас, так и за рубежом работы, посвященные воспроизведению сигнала по дискретным моментам наблюдения в двумерных координатах. Эти работы являются, по сути, распространением теоремы В. А. Ко-тельникова на двумерные поля. Ниже подробно будут показаны возможности использования теоремы отсчетов для воспроизведения двумерных полей. [24]
Например, если тетраэдр вписан в сферу, то отрезки, соединяющие центр сферы с граничными точками тетраэдра, могут быть отображены на радиусы сферы простым растяжением из центра сферы. Растяжение должно быть равномерным вдоль каждого из этих отрезков и таким, чтобы оно растягивало отрезок как раз в радиус. Такое отображение вполне подходит для целей распространения теоремы Брауэра о неподвижной точке на случай шара, а именно, если мы рассмотрим любое непрерывное отображение шара в себя, то естественно индуцируемое отображение симплекса в себя непрерывно и, следовательно, существует неподвижная точка. Точка шара, являющаяся образом неподвижной точки при индуцированном отображении, будет неподвижной точкой для первоначального отображения. [25]
Если множество всех неподвижных точек является элементом & 1п [ / о. U, то оно также содержит Р Ш ] U, как и ранее, по свойствам включения. Эти результаты подытоживаем включением (1.10.10), что заканчивает доказательство. Данная теорема является распространением теорем 1.7.1 и 1.7.2 на ин-гервальные отображения и содержит двойственные результаты, ко-горые получаются заменой неравенств на обратные. [26]
Все теоремы единственности, рассмотренные нами до сих пор, относились к теориям когомологий. Естественно задать вопрос, существует ли теорема единственности для теории гомологии, развитой в гл. Это безусловно так, если ограничиться рассмотрением теории на категории конечных регулярных клеточных комплексов, см. [ 14, - гл. Трудность заключается в распространении теоремы на более широкие классы пространств. [27]
Как отмечалось выше, актуальной проблемой теории устойчивости является создание строгих и эффективных методов исследования устойчивости движения систем с распределенными параметрами, в особенности сплошных сред. Эта проблема имеет огромное теоретическое и прикладное значение. В связи с этим весьма заманчивым представляется распространение методов Ляпунова вообще, и второго метода в частности, на системы с бесконечным числом степеней свободы. Этой проблеме посвящено большое число исследований, связанных большей частью с прикладными задачами. Мы рассмотрим здесь главным образом два направления исследований в этой области: применение прямого метода Ляпунова и распространение теорем Лагранжа и Рауса. [28]