Cтраница 2
Сг, комплексно линейная на слоях. С /, задаваемый ( неединственной) локальной тривиализацией ср. Другими словами, сечение голоморфного векторного расслоения локально предста вимо ( или отождествимо с) С / - значной функцией. [16]
Даже имея возможность наблюдать временную эволюцию приложений анализа к топологии, трудно найти в них какие-то общие закономерности и рискованно делать какие-либо предсказания на будущее. К тому же в своем кратком историческом обзоре мы совсем не касались приложений дифференциальных уравнений в частных производных к геометрии и топологии комплексных многообразий, которые еще более многочисленны, чем приложения к гладким вещественным многообразиям. Например, обобщенный вариант автодуальных уравнений, использованных Дональдеоном, применяется при изучении стабильных голоморфных векторных расслоений над комплексными кэлеровыми многообразиями. [17]
Большей популярностью пользуются евклидовы автодуальные поля Янга-Миллса на R, в частности два их класса, различающиеся асимптотическими условиями, - инстантоны и мо-нополи. Уравнение автодуальности F F11V равносильно интегрируемости связности Лц вдоль одной из двух систем нулевых поверхностей в комплексификации R, и любое его решение кодируется по Атье и Уорду голоморфным векторным расслоением над пространством нулевых поверхностей в L, которое является некоторой областью в СР3, в частности всем СР3 для инстантонов и СР3 - СР1 для монополей. Слоем этого расслоения является пространство горизонтальных сечений векторного расслоения, на котором Л ц является связностью. [18]
В § 3 мы описываем геометрию пространства Минковского. В § 4 вводится соответствие Пенроуза между пространством тви-сторов и пространством Минковского. В этом и состоит упомянутая выше замена основного пространства, при которой точки пространства-времени переходят в комплексные проективные прямые в Р3 ( проективные твисторы), а точки определенной вещественной гиперповерхности из Р3 переходят в изотропные прямые или световые лучи в пространстве Минковского. В § 8 дается краткий обзор основ теории голоморфных векторных расслоений и когомологий на комплексных многообразиях. В § 10 мы кратко поясняем, почему уравнения безмассового поля естественным образом возникают из соответствия Пенроуза. [19]
Менее очевидным представляется то обстоятельство, что связность Янга - Миллса Va, а вместе с ней и кривизна Янга - Миллса РаЬф полностью определяется условием голоморфности расслоения g7 над ЧЛ Несмотря на то что на & введения связности не требуется, информация об исходном расслоении Jf и его янг-миллсовой связности Va содержится в структуре &. Чтобы объяснить в общих чертах, почему это становится возможным, начнем с того, что с помощью & можно восстановить J. СМ, которая не обязательно совпадает с базой исходного расслоения J. Каждой точке Я е СМ соответствует проективная прямая R в РТ, и, если R с: Ч /, исходное голоморфное расслоение W индуцирует над R расслоение к. Это расслоение обладает тем свойством, что оно допускает лишь постоянные голоморфные сечения. Это следует из общей теории голоморфных векторных расслоений [54, 118], если для расслоения Фц выполняются определенные условия стабильности, как в общем, генерическом, случае, так, следовательно, и тогда, когда & получено из заданного расслоения 3, как в нашем случае. [20]