Cтраница 2
Далее, голоморфные отображения - f: S - & определяют естественным образом голоморфные & с-расслоения над СР. Если голоморфно зависит также и от точки пространства параметров X, то мы получим голоморфное расслоение над Xх СР. [16]
Для и ( п) - полей, т.е. для эрмитовых векторных расслоений Е над S4, отвечающие им голоморфные расслоения Е над СР3 обладают следующим свойством вещественности: на Е существует положительная вещественная йоша. СР - С IP и задающий положительно определенную эрмитову форму в пространстве голоморфных сечений Е над любой - инвариантной проективной прямой. [17]
С другой стороны, уравнения антиавто - дуальности, как объясняется в / 4 /, тоже можно интерпретировать в контексте голоморфных расслоений как условие равенства нулю отображения моментов, только на этот раз - для бесконечномерной калибровочной группы. Возможно, что геометрическая причина такого совпадения содержится в идеях Корригана и Нама [ 2j о дуальной природе дшм-конструкции, преобразующей коммутационные уравнения для дифференциальных операторов в формально похожие на них коммутационные уравнения для матриц. [18]
Используемый нами метод оформился в двух наших предыдущих работах по ( анти) автодуальным уравнениям Янга - Миллса, частным случаем которых являются уравнения Богомольного. С одной стороны, модули решений таких уравнений на компактных комплексных поверхностях ( т.е. в вещественной размерности 4) связаны в некоторых случаях с модулями голоморфных расслоений - вполне комплексно аналитическими объектами. Эта связь устанавливается исходя из дифференциального уравнения с частными производными второго порядка для метрики на голоморфном расслоении. [19]
Используемый нами метод оформился в двух наших предыдущих работах по ( анти) автодуальным уравнениям Янга - Миллса, частным случаем которых являются уравнения Богомольного. С одной стороны, модули решений таких уравнений на компактных комплексных поверхностях ( т.е. в вещественной размерности 4) связаны в некоторых случаях с модулями голоморфных расслоений - вполне комплексно аналитическими объектами. Эта связь устанавливается исходя из дифференциального уравнения с частными производными второго порядка для метрики на голоморфном расслоении. [20]
Менее очевидным представляется то обстоятельство, что связность Янга - Миллса Va, а вместе с ней и кривизна Янга - Миллса РаЬф полностью определяется условием голоморфности расслоения g7 над ЧЛ Несмотря на то что на & введения связности не требуется, информация об исходном расслоении Jf и его янг-миллсовой связности Va содержится в структуре &. Чтобы объяснить в общих чертах, почему это становится возможным, начнем с того, что с помощью & можно восстановить J. СМ, которая не обязательно совпадает с базой исходного расслоения J. Каждой точке Я е СМ соответствует проективная прямая R в РТ, и, если R с: Ч /, исходное голоморфное расслоение W индуцирует над R расслоение к. Это расслоение обладает тем свойством, что оно допускает лишь постоянные голоморфные сечения. Это следует из общей теории голоморфных векторных расслоений [54, 118], если для расслоения Фц выполняются определенные условия стабильности, как в общем, генерическом, случае, так, следовательно, и тогда, когда & получено из заданного расслоения 3, как в нашем случае. [21]
Благодаря такой прекрасной гармонии между анализом и топологией направления обобщений теоремы Дональдсона весьма ограниченны, хотя и можно исследовать четырехмерные многообразия с точечными особенностями или с краем. Кроме обсуждаемых здесь вопросов имеется еще целый ряд совсем других ситуаций, в которых они появляются в математике. Прежде всего существует интересная связь между алгебраическим твисторным описанием автодуальных полей на автодуальных четырехмерных многообразиях и нелинейным анализом. В то же время голоморфные расслоения над комплексными кэлеровыми многообразиями любых размерностей исследуются с использованием обобщенных автодуальных уравнений. [22]
Твисторная теория подсказывает выход из этой, казалось бы, тупиковой ситуации. Вместо того, чтобы фиксировать какую-либо конкретную комплексную структуру на фазовом многообразии, рассмотрим их все одновременно или, иначе говоря, перейдем к твисторному пространству J всех, комплексных, структур J на фазовом многообразии, совместимых с его симплектической структурой. Это пространство, в отличие от исходного фазового многообразия, обладает канонической почти комплексной структурой, в терминах которой исходная задача квантования может быть переформулирована следующим образом. J на фазовом многообразии) отвечает свое фоковское пространство F ( M, J), так что вместо одного фоковского пространства мы получаем целое голоморфное расслоение Т - J таких пространств над твисторным пространством J. Квантование в его терминах означает, что существует канонический способ отождествления, слоев данного голоморфного расслоения, иначе говоря, на Т - J существует унитарная плоская ( или проективно плоская) связность. [23]
Твисторная теория подсказывает выход из этой, казалось бы, тупиковой ситуации. Вместо того, чтобы фиксировать какую-либо конкретную комплексную структуру на фазовом многообразии, рассмотрим их все одновременно или, иначе говоря, перейдем к твисторному пространству J всех, комплексных, структур J на фазовом многообразии, совместимых с его симплектической структурой. Это пространство, в отличие от исходного фазового многообразия, обладает канонической почти комплексной структурой, в терминах которой исходная задача квантования может быть переформулирована следующим образом. J на фазовом многообразии) отвечает свое фоковское пространство F ( M, J), так что вместо одного фоковского пространства мы получаем целое голоморфное расслоение Т - J таких пространств над твисторным пространством J. Квантование в его терминах означает, что существует канонический способ отождествления, слоев данного голоморфного расслоения, иначе говоря, на Т - J существует унитарная плоская ( или проективно плоская) связность. [24]