Cтраница 2
Это соглашение мы сохраним и в случае риманова многообразия. При выполнении операций поднятия и опускания индексов, очевидно, индексы должны иметь возможность перемещаться свободно по вертикали вдоль коренной буквы сверху вниз и обратно. В случае компонент тензора 1-го ранга это условие автоматически выполняется, так как имеется всего лишь один нижний или верхний индекс. Но при наличии нескольких индексов этой ситуации может и не быть, если они расставлены наверху и внизу одни над другими. Поэтому важно, чтобы и при рассмотрении тензоров ранга выше первого придерживаться такого правила расстановки индексов, при котором сохраняется указанная выше ситуация, позволяющая беспрепятственно перемещать индексы по вертикали вдоль коренной буквы снизу вверх и обратно. Если обратим внимание на обозначения рассмотренных выше тензоров Ait A1, gijt gi, то заметим, что это условие соблюдено; над каждым нижним ( ковариантным) и под каждым верхним ( контравариантным) индексом оставлены свободные места. Для удобства принято эти свободные места заполнять точками в тех случаях, когда внизу и наверху имеется хотя бы по одному индексу, В остальных случаях, когда все индексы расположены либо внизу, либо наверху, точки можно не ставить. Такое правило расстановки индексов, которое мы сохраним ниже и для тензоров любого ранга, позволяет свободно перемещать индексы вверх и вниз по вертикалям вдоль коренной буквы, не вытесняя при этом другие индексы. Это соглашение существенно важно для формализации операций опускания и поднятия индексов. Вместе с тем следует отметить, что слепо соблюдать во всех случаях указанное правило расстановки индексов нет необходимости. [16]